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Aufgabe \( 1\left(8=6+2\right. \) Punkte). Sei \( V=\mathbb{R}[t]_{3} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3. Wir betrachten die Untervektorräume
\( U_{1}:=\operatorname{span}\left\{1+2 t+t^{3}, 1+t+t^{2}, t-t^{2}+t^{3}\right\} \)
und
\( U_{2}:=\operatorname{span}\left\{1+t^{2}, 1+3 t+t^{3}, 3 t-t^{2}+t^{3}\right\} . \)
Finden Sie eine Basis in \( U_{1}+U_{2} \). Ist die Summe dieser Untervektorräume direkt?
Aufgabe:
Problem/Ansatz: Soweit ich diese Aufgabe verstehe müsste ich erst eine Basis für U1 und danach eine Basis für U2 finden. Das kann ich über ein GLS machen indem ich die Polynome in Vektorschreibweise aufschreibe ( bspw. 1+2t+t^3 als Vektor (1,2,0,1) usw.) und die Basis finde. Selbiges erledige ich für U2. Wie soll ich dann aber die Basis für U1+U2 finden ? Soll ich dann aus der Menge der Vektoren welche ich dann in den zwei Basen habe einfach linear Unabhängige raussuchen ? Habe ich dann im Grunde schon mein Erzeugendensystem für U1+U2 ?
Freue mich auf Ansätze und falls das völlig falsch ist was ich schreibe gerne bescheidgeben.
