Aloha :)
zu a) Hier brauchst du einfach nur die Matrix bestehend aus den \(\vec m_i\) Spaltenvektoren zu invertieren$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1/3 & -2/3 & 2/3\\1/3 & 1/3 & -1/3\\-1/3 & 2/3 & 1/3\end{array}\right)$$und kannst dann die gesuchten Linearkombinationen ablesen:$$\vec e_1=\phantom{-}\frac{1}{3}\cdot\vec m_1+\frac{1}{3}\cdot\vec m_2-\frac{1}{3}\cdot\vec m_3$$$$\vec e_2=-\frac{2}{3}\cdot\vec m_1+\frac{1}{3}\cdot\vec m_2+\frac{2}{3}\cdot\vec m_3$$$$\vec e_3=\phantom{-}\frac{2}{3}\cdot\vec m_1-\frac{1}{3}\cdot\vec m_2+\frac{1}{3}\cdot\vec m_3$$
zu b) Da die Abbildung linear ist, erhalten wir mit a) die Bilder der Einheitsvektoren:$$F(\vec e_1)=\phantom{-}\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_1)+\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_2)-\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_3)=\begin{pmatrix}2/3\\2/3\\1/3\end{pmatrix}$$$$F(\vec e_2)=-\frac{2}{3}\cdot F(\vec m_1)+\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_2)+\frac{2}{3}\cdot F(\vec m_3)=\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\4/3\end{pmatrix}$$$$F(\vec e_3)=\phantom{-}\frac{2}{3}\cdot F(\vec m_1)-\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_2)+\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_3)=\begin{pmatrix}4/3\\1/3\\-1/3\end{pmatrix}$$
zu c) Die Matrix \(\mathbf A\) besteht aus den Bildern der Einheitsvektoren, also:$$\mathbf A=\left(\begin{array}{rrr}2/3 & -1/3 & 4/3\\2/3 & 2/3 & 1/3\\1/3 & 4/3 & -1/3\end{array}\right)$$
zu d) Wir prüfen, ob die Bilder der Einheitsvektoren ortohognal zueinander sind:$$\begin{pmatrix}2/3\\2/3\\1/3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\4/3\end{pmatrix}=-\frac{2}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\ne0$$Die Abbildungsmatrix \(A\) ist also nicht orthogonal.
