Inhalt der Fläche, die die Grafen der Funktionen f(x) und g(x) im Intervall [a;b] miteinander abschließen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die die Grafen der Funktionen f(x) und g(x) im Intervall [a;b] miteinander einschließen.
a)f(x)=x2 +6x+10 und g(x)=x2 +2x+2     [-3;0]

Problem/Ansatz:

So wie ich es verstanden habe muss ich den Flächeninhalt im Intervall welche die beiden Funktionen miteinander teilen ausrechnen muss aber leider weiß ich gar nicht wie ich das anstelle. Wäre sehr dankbar wenn es mir jemand erklären könnte!

Answer 1

Die schneiden sich bei x=-2.

links davon ist g oberhalb von f und rechts davon umgekehrt.

Also berechne $$\int \limits_{-3}^{-2} (g(x) - f(x)) dx +\int \limits_{-2}^{0} (f(x) - g(x))dx$$

Answer 2

Du solltest als erstes die Intervallgrenzen deines Integrals berechnen. Die Intervallgrenezn sind dabei die Schnittstellen der beiden Funkten f und g im Intervall [-3,0]. Das heißt, erste Aufgabe ist die Schnittstellen durch das setzen von f=g zu berechnen und entsprechend nach x aufzulösen. Jetzt stellt sich die Frage, welche Funktion du integrieren musst: Und zwar über die Differenz von f-g. Warum ist das so? Naja deine Funktion f schließt eine Fläche mit der x- Achse ein und deine Funktion g eine Fläche mit der x-Achse wenn du aber die Fläche deiner Funktion g abziehst von der Fläche von f hast du genau die eingeschlossene Fläche übrig. Analog kannst du auch g-f als dein zu Integrierende Funktion wählen, dort kommt die der gleiche Flächenwert heraus nur mit negativem Vorzeichen.

Also hast du schlussendlich dein Integral von der einen Schnittstelle bis zur anderen Schnittstelle in deinem Intervall -3 bis 0 und integrierst über die Differenz der Funktion f-g. Hast du mehrere Schnittstellen summierst du die separaten Flächen entsprechend auf

Den Ansatz siehst du ja bei mathef.