Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Question

ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:

Nach dem 1.Oktober 2002 nahm die Anzahl der in einem Internetlexikon erschienen Artikel gemäß der Funktion f mit f(x) = 80 000*e^{0,002x} zu. (x in Tagen)

a) Um wieviel % wächst die Anzahl jährlich? Zeigen sie, dass der Prozentansatz in jedem Jahr gleich ist.

b) Wie viele Artikel erschienen annähernd am 1.Oktober 2003? Berechnen sie diese Anzahl auch mit der Ableitung und vergleichen sie.

zu a)  f(365 )=166 066,45 da der Anfangsbestand 80 000 ist habe ich dann 166 066,45/80 000 = 207, 01. Heißt das der Prozentsatz ist über 200%?
Und wie soll ich den zeigen, dass der Prozentsatz in jedem JAhr gleich ist?

zu b) am 1.Oktober, also ein JAhr später, ist schon wieder nach f(365)= 166 066,45 gefragt, oder? Die Ableitung der Funktion ist ja f'(x) = 160*e^{0,002x}. Also ist f'(365)=332.
Und was soll mir der Vergleich jetzt sagen?

Danke schonmal

Answer 1

  f ( x ) = 80 000*e^0,002x   l  x in Tagen

  Auf der Bank wird gerechnet : Kapital = Anfangskapital * Zinsfuß^{Zeit}:
ein Zinsfuß von 1.02 bedeutet z.B. 2 %.

z = zinsfuß
x in Tagen

k ( x ) = f ( x )
80000 * z^{x/365} = 80000 * e^{0.002x}  l : 80000
z^{x/365} = e^{0.002x} 
ln ( z ) * (x/365) = ln ( e) * (0.002x)
ln ( z ) = 0.002 * x * 365 / x 
ln ( z ) = 0.002 * 365
ln ( z ) = 0.73
z = 2.08

80.000 * 2.08^{x/365} = 80 000*e^0,002x

Der Zinsfuß z ist somit unabhängig von der Zeit  ( x ).

Zinsfuß 2.08 dürfte 108 % bedeuten
f ( 0 ) = 80000
f ( 365 ) 166006
Differenz : 86006 entspricht 108 %

b.)
Berechnung der am 1.Okt.2003 erschienenen  Artikel über die Ursprungsformel
f ( x ) = 80 000*e^0,002x
f ( 365 ) = 80 000*e^(0,002*365)  = 166006
f ( 366 ) = 80 000*e^(0,002*366)  = 166339
Differenz : 333

Berechnung der am 1.Okt.2003 erschienenen Artikel über die 1.Abeitung
f ´ ( x ) =  80000 * 0.002 * e^{0.002x}
f ´( x ) = 160 * e^{0.002x}
f ´( 365 ) =  160 * e^{0.002*365}
f ´ ( 365 ) = 332

  Bei beiden Berechnungsarten kommt etwa das gleiche heraus.

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg