Für welchen Wert von x sind die beiden Vektoren parallel?

Question

Gegeben sind zwei Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem

a= \(\begin{pmatrix} 3\\-6\\x \end{pmatrix}\) b=\( \begin{pmatrix} -1\\2\\-3 \end{pmatrix} \)

Für welchen Wert von x sind die beiden Vektoren parallel?

Ansatz:

Zwei Vektoren stehen parallel aufeinander, falls der zweite Vektor ein Vielfaches vom ersten Vektor ist.

Ich sehe sofort, das für x=9 diese Voraussetzung erfüllt ist, Ich habe nurn kleines Problem, wie schreibt man das mathematisch genau korrekt auf? Das für x=9 gilt? Soll ich einfach annehmen, das x=9 ist und dann damit beweise, oder gibt es da nen anderen Weg das ich mit a = k*b irgendwie auf 9 komme mit k=-3?

Also meine Frage ist... wie beweist man diese Aufgabe mathematisch korrekt und wie schreibt man das korrekt auf?^^

bzw:

Es gilt:

\(\begin{pmatrix} 3\\-6\\x \end{pmatrix}\) = k * \( \begin{pmatrix} -1\\2\\-3 \end{pmatrix} \)

Wir nehmen an k=-3 so folgt 3=-3*-1, -6 = 2*-3 und x=-3*-3 also x=9?

Answer 1

Hallo,

wenn Du es ganz genau begründen willst: 2 Vektoren sind gleich genau dann, wenn jeweils alle Komponenten (hier drei) übereinstimmen. Also hier:

$$a=k b \iff 3=k\cdot (-1) \text{ und } -6=k \cdot 2 \text{ und } x=k \cdot (-3)$$

Aus der ersten Gleichung rechts folgt, dass k notwendig gleich -3 ist. Dann prüft man die zweite Gleichung mit k=-3, ist o.k.. Die dritte Gleichung liefert dann die Bedingung x=9. Also mit k=-3 und x=9 sind alle 3 Gleichungen rechts erfüllt und es gibt keine weitere Möglichkeit.

Gruß