Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)

Question

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2 Untersuchen Sie, wie die Geraden von \( g \) und von h zueinander liegen.
a) \( g \) mit \( g(x)=0,75 x-3 ; \quad h \) mit \( h(x)=-\frac{4}{3} x-3 \)
b) \( q \) mit \( g(x)=-\frac{9}{20} x+4 ; \quad \) h mit \( h(x)=-0,45 x-1 \)
3 Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an den Graphen von \( f \)
mit \( f(x)=x^{3}-4 x^{2}+1 ; x \in \mathbb{R} \) in \( x=2 \)

Aufgabe:

Answer 1

3 Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an den Graphen von \( f \)mit \( f(x)=x^{3}-4 x^{2}+1 ; x \in \mathbb{R} \) in \( x=2 \)

f(x)=x^3-4x^2+1

f(2)=2^3-4*2^2+1=-7      A(2|-7)  

f´(x)=3x^2-8x

f´(2)=3*2^2-8*2 =-4

Normalensteigung:      m=\( \frac{1}{4} \)

\( \frac{y+7}{x-2} \)=\( \frac{1}{4} \)

y=\( \frac{1}{4} \) x - \( \frac{15}{2} \)

Answer 2

f ' (2) =  -4 also Normale mit Steigung m=1/4.

und der Punkt ist ( 2 ; -7)  mit y = mx+n gibt

das -7 = 1/4 * 2 + n also n=-7,5

==>  Normale:  y = 1/4 *x - 7,5

etwa so: ~plot~  1/4 *x - 7.5 ;x^3-4*x^2+1;[[0|10|-8|1]] ~plot~

Answer 3

f(x) = x^3 - 4·x^2 + 1
f'(x) = 3·x^2 - 8·x

Tangente an der Stelle 2

t(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2)
t(x) = -4·(x - 2) - 7 = 1 - 4·x

Normale an der Stelle 2

n(x) = -1/f'(2)·(x - 2) + f(2)
n(x) = 1/4·(x - 2) - 7 = 0.25·x - 7.5