Begründen Sie mithilfe des Graphen von f' :

Question

23) Von der Ableitung zur Funktion 2
Der Graph der Ableitungsfunktion \( f^{\prime} \) der Funktion \( f \) ist gegeben.

~plot~ x^2+2x+1;[[-6|4|-2|5]] ~plot~

a) Begründen Sie mithilfe des Graphen von \( f^{\prime} \) :

(1) f hat keinen lokalen Extrempunkt.

(2) f hat genau einen Wendepunkt, dieser ist ein Sattelpunkt.

(3) Die Tangente im Wendepunkt hat keine negative Steigung.

(4) f ist im ganzen Definitionsbereich monoton wachsend.

b) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von \( f \). Es gilt \( f(0)=0 \).

Comments

Begründen Sie mithilfe des Graphen von...

Eine Skizze des Graphen wäre hilfreich.

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Achso ja sorry vergessen.

Der Funktion lässt sich mit f(x) = x² + 2x + 1

modellieren, es soll aber ohne Rechnung begründet werden.

Answer 1

f'(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

a) Begründen Sie mithilfe des Graphen von f'(x):

(1) f hat keinen lokalen Extrempunkt.
f'(x) >= 0 und ist damit ist f(x) streng monoton steigend. Einzig ein Sattelpunkt bei x = -1.

(2) f hat genau einen Wendepunkt, dieser ist ein Sattelpunkt.
Siehe (1).

(3) Die Tangente im Wendepunkt hat keine negative Steigung.
Die Steigung im Sattelpunkt ist immer 0.

(4) f ist im ganzen Definitionsbereich monoton wachsend.
Siehe (1)

b) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von f. Es gilt f(0) = 0.
f(x) = 1/3*x^3 + x^2 + x

Answer 2

Hallo,

1) f'(x) hat zwar eine Nullstelle, aber eine doppelte, so dass kein Vorzeichenwechsel stattfindet

2) Da an dieser Stelle auch die Steigung, also f'' gleich null ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt

3)..., denn sie hat die Steigung null

4) f'(x) ist > 0

Gruß, Silvia