Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu c) Die Tangente im Koordinatenursprung hat dieselbe Steigung wie die Funktion \(f_a(x)\) im Kooridnatenursprung. Diese Steigung soll gleich \(1\) sein, was einem Steigungswinkel von \(45^\circ\) entspricht.$$f_a(x)=\frac{x}{a}\sqrt{a-x}\quad;\quad a>0$$$$f'_a(x)=\frac{1}{a}\sqrt{a-x}+\frac{x}{a}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{a-x}}=\frac{2(a-x)}{2a\sqrt{a-x}}-\frac{x}{2a\sqrt{a-x}}=\frac{2a-3x}{2a\sqrt{a-x}}$$$$1\stackrel!=f'_a(0)=\frac{2a}{2a\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt a}\implies\sqrt{a}=1\implies a=1$$Für \(a=1\) hat die Tangente im Ursprung also \(45^\circ\) Steigung.
~plot~ x/1*sqrt(1-x) ; x ; {0|0} ; [[-1|1,5|-1|0,6]] ~plot~
zu d) Die eingeschlossene Fläche im ersten Quadranten liegt zwischen den beiden Nullstellen \(x=0\) und \(x=a\):
$$F=\int\limits_0^a f_a(x)\,dx=\int\limits_0^a\frac{x}{a}\sqrt{a-x}\,dx=\int\limits_0^a\underbrace{\frac{x}{a}}_{=u}\cdot\underbrace{(a-x)^{1/2}}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{F}=\left[\underbrace{\frac{x}{a}}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-\frac{2}{3}(a-x)^{3/2}\right)}_{=v}\right]_0^a-\int\limits_0^a\underbrace{\frac{1}{a}}_{=u'}\cdot\underbrace{\left(-\frac{2}{3}(a-x)^{3/2}\right)}_{=v}dx$$$$\phantom{F}=0+\int\limits_0^a\frac{2}{3a}(a-x)^{3/2}\,dx=\left[-\frac{2}{3a}\cdot\frac{2}{5}(a-x)^{5/2}\right]_0^a=\left[-\frac{4}{15a}(a-x)^{5/2}\right]_0^a$$$$\phantom{F}=\frac{4}{15a}a^{5/2}=\frac{4}{15}a\sqrt a$$
