f erfülle die Funktionalgleichung f(x+y) = f(x)+f(y). Sei stetig in einem Punkt....

Question

Die Funktion f:ℝ -> ℝ erfülle die Funktionalgleichung \(f\left( x+y \right) =f(x)+f(y)\) .

Wie zeige ich, dass wenn f in einem Punkt a ∈ ℝ stetig ist, f(x)=f(1)x für alle x ∈ ℝ gilt?

Comments

soll natürlich " f(x+y)=f(x)+f(y)"

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Ist das bereits eine Vereinfachung von https://www.mathelounge.de/82678/vor-zeige-dass-linear-ist-dass-eine-konstante-existiert-alle?show=82680#a82680

?

Wie zeige ich, dass wenn f in einem Punkt a ∈ ℝ stetig ist, f(x)=f(1)x für alle x ∈ ℝ gilt?

Wozu a?

Answer 1

Vorbem.: f(0)=f(0)+f(0)=2f(0), also f(0)=0 1) f ist stetig: Wähle ein beliebiges reelles x so gilt: $$ \lim_{h \to 0} f(x+h)=\lim_{h \to 0} f(x) +f(h)=f(x)+f(0)=f(x) $$ 2)Für alle natürlichen n gilt f(n)=f(1)n per Induktion. 3)Es ist 0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), also f(-x)=-f(x) 4) Für rationale p/q gilt: f(p/q)=f(1)p/q, da pf(1)=f(p)=qf(p/q). 5) Da die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen existiert zu jedem rellen x eine rationale Folge (a) die gegen x konvergiert. Also $$f(x)=f(lim_{n \to \infty} a_n)=\lim_{n \to \infty } f(a_n)=\lim_{n \to \infty } a_n \cdot f(1)=f(1)x $$