Näherungspolynom maximale Abweichung

Question

Aufgabe:

(i) Berechnen Sie ein zweigliedriges Näherungspolynom in \(x\) für den Ausdruck \(f(x) = \frac{1}{100+x^2} \)

mithilfe einer Reihenentwicklung.

(ii) Bestimmen Sie das Intervall der \(x\)-Werte für die in (i) gefundene Näherung betragsmäßig um höchstens 0,01% von dem exakten durch \(f(x)\) gegebenen Wert abweicht.

Problem/Ansatz:

(i) \(T_2f(x;0)= \frac{1}{100} -\frac{1}{10000}x^2\)

(ii) Ich weiß die Frage wurde schonmal gestellt, aber könnte mir bitte jemand den Rechenweg geben oder detailliert erklären wie man es mit der Restgliedabschätzung von Lagrange macht.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{1}{100+x^2}=\left(100+x^2\right)^{-1}$$$$f'(x)=-(100+x^2)^{-2}\cdot2x=-\frac{2x}{(100+x^2)^2}$$$$f''(x)=2(100+x^2)^{-3}\cdot2x\cdot2x-(100+x^2)^{-2}\cdot2=\frac{8x^2-2(100+x^2)}{(100+x^2)^3}=\frac{6x^2-200}{(100+x^2)^3}$$

Das Näherungspolynom bis zur 2-ten Ordnung lautet daher:$$f_2(x)\approx f(0)+f'(0)\,x+\frac{1}{2}f''(0)\,x^2=\frac{1}{100}+0+\frac{1}{2}\cdot\frac{-200}{100^3}\,x^2=\frac{1}{100}\left(1-\frac{x^2}{100}\right)$$

Die betragsmäßige Abweichung der Näherung \(f_2(x)\) vom exakten Wert \(f(x)\) soll höchstens \(0,01\%\) betragen. Formal heißt das:

$$\left.\left|f(x)-f_2(x)\right|\le0,01\%\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.\left|\frac{1}{100+x^2}-\frac{1}{100}\left(1-\frac{x^2}{100}\right)\right|\le0,01\%\quad\right|\cdot100$$$$\left.\left|\frac{100}{100+x^2}-\left(1-\frac{x^2}{100}\right)\right|\le1\%\quad\right|\text{links umformen}$$$$\left.\left|\frac{100+x^2-x^2}{100+x^2}-1+\frac{x^2}{100}\right|\le1\%\quad\right|\text{links weiter umformen}$$$$\left.\left|1-\frac{x^2}{100+x^2}-1+\frac{x^2}{100}\right|\le1\%\quad\right|\text{links noch weiter umformen}$$$$\left.\left|-\frac{x^2}{100+x^2}+\frac{x^2}{100}\right|\le1\%\quad\right|\cdot100$$$$\left.\left|-\frac{100x^2}{100+x^2}+x^2\right|\le1\quad\right|\text{links auf Hauptnenner bringen}$$$$\left.\left|\frac{-100x^2+100x^2+x^4}{100+x^2}\right|\le1\quad\right|\text{Zähler ausrechnen}$$$$\left.\left|\frac{x^4}{100+x^2}\right|\le1\quad\right|\text{Argument des Betrags immer \(\ge0\)}$$$$\left.\frac{x^4}{100+x^2}\le1\quad\right|\cdot(100+x^2)$$$$\left.x^4\le100+x^2\quad\right|-x^2$$$$\left.x^4-x^2\le100\quad\right|+\frac{1}{4}$$$$\left.x^4-x^2+\frac{1}{4}\le\frac{401}{4}\quad\right|\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{401}{4}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.-\sqrt{\frac{401}{4}}\le x^2-\frac{1}{2}\le\sqrt{\frac{401}{4}}\quad\right|+\frac{1}{2}$$$$\left.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{401}}{2}\le x^2\le\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{401}}{2}\quad\right|\text{Wegen \(x^2\ge0\) linke Grenze weglassen}$$$$\left.x^2\le\frac{1+\sqrt{401}}{2}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.|x|\le\sqrt{\frac{1+\sqrt{401}}{2}}\approx3,242297\quad\right.$$

Answer 2

Hallo, dein Taylorpolynom stimmt.

Wenn du nach Lagrange vorgehen willst, wird es sehr kompliziert werden. Das fängt damit an, dass du dein \(\xi\) zwischen \(x\) und \(0\) wählen musst, aber auch dein \(x\). Du hast also nur eine (Un)-Gleichung, aber zwei Unbekannte. Das ganze wird also sehr schwierig.

Hier eignet es sich tatsächlich, einfach mal die Differenz

\(|f(x)-T_2f(x;0)|=...=\frac{1}{10^4}\cdot \frac{x^4}{100+x^2}\)

auszurechnen und dann die Ungleichung

\(|f(x)-T_2f(x;0)|\leq 10^{-4}\) (sind 0,01%)

zu lösen.