Bestimmen eines bestimmten Integrals

Question

hi, ich gehe gerade die Übungsaufgaben durch und bin auf eine Aufgabe gestoßen die mir sehr aufwendig erscheint.

c) \( \int \limits_{-1}^{3} \frac{f^{\prime}(x)}{1+(f(x))^{2}} d x, \) wenn \( f(x)=\frac{(x+1)^{2}(x-1)}{x^{3}(x-2)} \).

Bevor ich jetzt ewig Zeit und kraft ins ableiten, zusammenfassen und integrieren investiere, wollte ich fragen, ob bei dieser Aufgabe etwas besonderes zu sehen ist, wie man sie deutlich vereinfachen kann.

Wenn nicht, dann würde mich interessieren wie ihr an die Aufgabe rangehen würdet.

Ich hätte jetzt mit der Quotientenregel die Ableitung gebildet, sie eingesetzt in die zu integrierende Funktion und wahrscheinlich mit Substitution versucht sie zu lösen, aber weil das nur eine gewöhnliche Teilaufgabe ist und die vorherigen beiden Teilaufgaben mit kaum einer halben Blattseite fertig gelöst waren, kommt es mir so vor, als müsste vorher etwas vereinfacht werden.

Edit: Mir fällt auf, dass die erste Funktion integriert an den arctan erinnert (Also wegen arctan(x) = 1/(1+x^2))

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

grundsätzlich gilt: Eine Stammfunktion für

$$\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} \text{   ist  } \arctan(f(x))$$

Allerdings hat der Integrand bei x=0 und x=2 Singularitäten. Es handelt sich also nicht um ein eigentliches Integral.

Frage also: Steht diese Aufgabe im Kontext "Uneigentliche Integrale" und sollen also "nur" diese Singularitäten erkannt werden?

Gruß

Comments

Hallo MathePeter, danke für die antwort, die Aufgabe steht eigentlich im Kontext von bestimmten Integralen,

also die Aufgabenstellung lautet auch "Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: ..."

die uneigentlichen Integrale werden erst in einem anderen Übungsblatt behandelt.

arctan(f(x)) scheint auch die lösung zu sein, wenn man die aufgabe in einem rechner eingibt.

Ich weiß leider noch nicht was genau Singularitäten sind, aber ich schaue sie mir gleich an.

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Hallo,

es ist etwas komplizierter. Zunächst ist der Integrand an den Stellen x=0 und x=2 nicht definiert. Also kann man sich auf den Standpunkt stellen: Die Aufgabe ist falsch formuliert - Ende.

Es könnte sein, dass nach Berechnung der Ableitung und Einsetzen die entstehende Funktion eine stetige Fortsetzung hat - das scheint hier der Fall zu sein. Dann hat diese stetige Fortsetzung ein bestimmtes Integral.

Gruß

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Vielen dank für deine antworten, ich glaube ich kann das so hinnehmen und vergeude lieber nicht noch mehr zeit daran.

Immerhin habe ich inzwischen auch halbwegs verstanden was Singularitäten sind.

Liebe Grüße,

Mauerblümchen

Answer 2

Den Versuch, die Aufgabe auf konventionelle Weise mit einem CAS zu lösen, habe ich nach 5 Minuten Warten auf ein Ergebnis abgebrochen. Entweder ist bei dieser Aufgabe etwas besonderes zu sehen , wie man sie deutlich vereinfachen kann oder sie ist sogar für ein elektronisches Werkzeug eine Zumutung.