Woran erkenne ich orthogonale Matrizen?

Question

Aufgabe:

A = ( 0 1 0 / 1 0 0 / 0 0 -2)  und B = ( cos(β) 0 sin(β) / 0 1 0 / -sin(β) 0 cos(β) )

Problem/Ansatz:

Woran erkenne ich orthogonale Matrizen? Oben habe ich die Beispiele eingegeben welche auch mir gegeben wurden. Diese stehen im Original in einer 3x3 Matrix.

Answer 1

Hallo, orthogonale Matrizen \(A\in \mathbb{R}^{n\times n}\) erkennst du, falls diese Gelichheit gilt:

\(A\cdot A^T=I_n\). So hast du beispielsweise:

\(A\cdot A^T=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3\), also nicht orthogonal.

Comments

Allerdings musst Du mit Deiner Vorlesung checken, ob Ihr zwischen "orthogonal" und "orthonormal" unterscheidet - nur zur Vorsicht.

Gruß

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Nein. Die Spalten einer orthogonalen Matrix sind orthonormal, bilden also eine Orthonormalbasis. Nur so stimmt das auch mit der Definition zu orthogonalen Matrizen überein. Sonst bekäme man nur eine Diagonalmatrix heraus und nicht die Einheitsmatrix. Der Begriff orthogonal steht bei Matrizen also in einem anderen Zusammenhang.