Divergiert diese Reihe oder nicht?

Question

Ich habe eine Frage zu Konvergenz. Ich möchte wissen ob diese Reihe konvergiert oder nicht.

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n^2-5n+9)/(n^2+3n+2) \)

Ich habe versucht, und habe am Ende bekommen, dass die Reihe nach Minorantenkriterium divergiert.

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n^2-5n+9)/(n^2+3n+2) \geq \sum \limits_{n=0}^{\infty}n/(n^2+n^2)= \sum \limits_{n=0}^{\infty}n/(2n^2) = 1/2*\sum \limits_{n=0}^{\infty}1/n \)

Ist meine Lösung richtig oder nicht?

vielen Dank im voraus.

Answer 1

Der der Reihe zugrunde liegende Folge ist ja nicht mal eine Nullfolge.

Die Summanden konvergieren gegen 1. Also ist die Möglichkeit einer Konvergenz von vorn herein gestorben.

Dein Vorgehen ist zwar prinzipiell richtig (du versuchst, den Zähler zu verkleinern und den Nenner zu vergrößern), steht aber argumentativ auf dünnen Beinen. Die von dir gewünschten Effekte treten nicht schon ab n=1 ein, sondern erst später. Darauf gehst du nicht ein.

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vielen Dank für die Antwort.

Answer 2

Aloha :)

Für die Konvergenz einer Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) ist es eine notwendige Voraussetzung, dass \((a_n)\) eine Nullfolge ist. Wir prüfen daher zunächst, ob \(a_n\) hier gegen \(0\) konvergiert:

$$a_n=\frac{n^2-5n+9}{n^2+3n+2}=\frac{n^2+3n-8n+2+7}{n^2+3n+2}=\frac{n^2+3n+2-8n+7}{n^2+3n+2}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n^2+3n+2}{n^2+3n+2}+\frac{-8n+7}{n^2+3n+2}=1-\frac{8n-7}{n^2+3n+2}=1-\frac{8-\frac{7}{n}}{n+3+\frac{2}{n}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=1-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{8-\frac{7}{n}}{n+3+\frac{2}{n}}=1-0=1$$Die Folge \((a_n)\) ist keine Nullfolge, also konvergiert die Reihe nicht.

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vielen Dank für die Antwort.