Wie lauten die Gleichungen der Randfunktionen f und \mathrm{g}?

Question

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Ein Innenarchitekt plant für ein neues Thermalbad einen Whirlpool.
a) Wie lauten die Gleichungen der Randfunktionen \( f \) und \( \mathrm{g} \) ? \( \mathrm{g} \) läuft bei \( \mathrm{P}(4 / 2) \) horizontal aus.
b) Wie viele Liter Wasser fasst das \( 1,5 \mathrm{~m} \) Tiefe Becken?
c) Wie groß ist der Winkel, unter dem die Kurven \( f \) und \( g \) sich im Punkt \( P(4 / 2) \) treffen?
$$ g(x)=u x^{4}+v x^{2} $$

Answer 1

a) Ansatz f(x)=ax²+4  P(4|2) einsetzen führt zu a=-1/8

f(x)=-x²/8+4

Ansatz g(x)=ax⁴+bx² P(4|2) einsetzen:

(1) 256a+16b=2

g'(x)=4ax³+2bx

g'(4)=0 führt zu

(2) 256a+8b

Die Lösungen des Systems (1),(2) sind

a=-1/128  und b=1/4

g(x)= - x⁴/128+x²/4.

b)\( \int\limits_{-4}^{4} \) (f(x)-g(x)) dx·1,5

c) Tangentensteigung m von f in P(4|2) bestimmen. Für den Winkel α, unter dem die Kurven \( f \) und \( g \) sich im Punkt \( P(4 / 2) \) treffen, gilt α=180°-arctan(m).

Answer 2

a)  Gleichung für f:

Punkte (0;4) und (4;2) einsetzen bei f(x)=ax^2 + b

gibt a=-1/8  und b= 4 also f(x) = -0,125x^2 + 4

und g mit g(4)=2 und g ' (4)=0

gibt es u=-1/128  und v= 1/4 also so:

~plot~  -0,125x^2 + 4;-1/128x^4+0,25x^2 ~plot~

b) Fläche mit Integral von -4 bis 4 über (f(x)-g(x) dx gibt 19,2

und dann mal 1,5 gibt 28,8 m^3 .

c)  f ' ( 4) = -0,25*4 = -1  also Winkel 45°.

Comments

Hallo,

bei c) sollte es ja kein Unterschied sein, ob ich jetzt von g) oder f) die Ableitung nehme oder?

Mit freundlichen Grüßen

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Hallo mathef, wie kommst du von -1 auf den Winkel 45 Grad?

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Steigung = -1 = tan(α)  →   α = tan^-1(-1) = - 45°

Das Minuszeichen gibt die Drehrichtung (gegen den Uhrzeigersinn) an

Du musst den Taschenrechner im Gradmaß (DEG) einstellen

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Ah mit dem Tangens mache ich das. Danke Wolfgang.

Geht sowas immer mit dem Tangens?

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bei einer Geraden gilt immer Steigung = m = tan(α) 

f '(4) ist die Tangentensteigung von f an der Stelle x=4

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Gut, dass ich das jetzt weiß. Danke sehr

Answer 3

a) Wie lauten die Gleichungen der Randfunktionen  f und g ? g läuft bei P(4 | 2)horizontal aus.

1.) Parabel 2.Grades: f(x)= a*x^2+4     P(4 | 2)     f(2) = a*4^2+4       16a+4=2    a= -\( \frac{1}{8} \)      f(x)= -\( \frac{1}{8} \) x^2+4

2.) Parabel 4.Grades: g(x)= a*x^4+b*x^2+c wegen Symmetrie zur y-Achse

P(0|0)      c=0

P(4|2)      g(4)= a*256+b*16     128 a+8b=1

Hochpunkt bei  P(4|2) :   g´(x)= 4a*x^3+2b*x     g´(4)= 4*a*4^3+2*b*4      256a+8b=0        32a+b=0      b=-32a

128 a+8*(-32a)=1    a=- \( \frac{1}{128} \)        b=(-32)*(- \( \frac{1}{128} \))     b=\( \frac{1}{4} \)

g(x)= - \( \frac{1}{128} \)*x^4+\( \frac{1}{4} \)*x^2