Die Höhe einer Seite eines Parallelogramms berechnen

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die auf der Seite [AB] stehende Höhe das Parallelogramms

Problem/Ansatz: Geg.: Wir haben ein Parallelogramm mit den Punkten A(2/-3/1), B(0/-2,4), C(1/1/6) und D(3,0,3).
- die Fläche des Parallelogramms ist A= 12,12(FE)
- der Flächeninhalt des Dreiecks BCD ist A= 6,06(FE)
- Ich habe schon die Vektoren AB, BC, CD, DA richtig ausgerechnet,

Was muss ich rechnen?

Answer 1

Länge von AB mal zugehörige Höhe h gibt den Flächeninhalt !

Comments

Wenn die ich Aufgabe richtig verstehe, dann hast du meine Frage nicht beantwortet. Die Fläche des Parallelogramms habe ich schon ausgerechnet.

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Und diesen Flächeninhalt kannst du zusammen mit der Länge der Strecke AB verwenden, um die Höhe zu bestimmen.

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Also rechne ich 12,12(FE)* Strecke AB

=12,12(FE)* \( \sqrt{(-2)^2+1^2+3^3} \) (LE)

= 12,12(FE) * \( \sqrt{14} \) (LE)

=45,35

Das wäre dann meine Höhe des Parallelogramms auf der Seite[AB] ?

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Ach so, jetzt habe ich es glaube ich verstanden.

Darf ich so rechnen?

Ap = VektorAB(LE) *h(LE)

12,12(FE) = \( \begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix} \)(LE) * h(LE)

12,12(FE) = \( \sqrt{14} \)(LE) * h(LE)

12,12(FE) = 3,74(LE) *h(LE)

h = 3,24(LE)

Bin mir nicht sicher ob ich das "12,12(FE) = \( \begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix} \) * h" so aufschreiben darf, weil ich ja eigentlich nur mit der Länge des Vektors rechne.

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Für den Flächeninhalt \(F\) eines Parallelograms mit Grundseite \(a\) und daraf stehender Höhe \(h_a\) gilt

        \(F = a\cdot h_a\).

Setze die bekannten Werte ein.

Ap = VektorAB *h

Nein. Du darfst

        Ap = Länge des VektorAB * h

schreiben

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Habe eingesetzt, pass es so?

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12,12(FE) = \( \sqrt{14} \) * h

Passt so. Das "(FE)" sollte aber da weg.

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Ist es falsch zu schreiben dass, dass (LE) * (LE) = (FE) ist?

Und wenn ich schreibe (Vektor)AB(LE), ist dann damit automatisch das gleiche gemeint wie mit: Länge vom Vektor AB?

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(LE) * (LE) = (FE)

Ist richtig.

12,12(FE) = \( \sqrt{14} \) * h

Wenn du die Gleichung löst, dann bekommst du

        \(h = \frac{12,12}{\sqrt{14}} \text{(FE)}\).

Aber \(h\) ist doch eine Längenangabe. Dann lieber

    12,12(FE) = \( \sqrt{14} \)(LE) * h.

Besser noch, wir verzichten vollständig auf die Angabe von Einheiten; schließlich sind in der Aufgabenstellung auch keine Einheiten genannt.

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Und wenn ich schreibe (Vektor)AB(LE), ist dann damit automatisch das gleiche gemeint wie mit: Länge vom Vektor AB?

Nein.

Der Vektor von \(A\) nach \(B\) hat die Länge \(\left|\vec{AB}\right|\).

Der Vektor \(\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}\) hat die Länge \(\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}\right|\).

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Stimmt, ich habe vergessen, dass die Länge des Vektors auch die normale Schreibweise ist.

Aber bei der Gleichung 12,12(FE) = \( \sqrt{14} \) * h kommt h in (LE) raus, wenn ich nicht die anderen LE Angaben vergessen hätten, wenn ich das richtig verstehe.

Das wäre dann FE= LE*LE => LE=LE

Answer 2

Der Punkt \(P\) auf der Geraden \(CD\) kann dargestellt werden als

        \(\vec{OP} = \vec{OC} + r\cdot \vec{CD}\)

Gesucht ist ein Wert für \(r\), so dass die Strecke \(AP\) senkrecht zu \(AB\) ist.

Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt von \(AP\) und \(AB\) Null ist. Löse also die Gleichung:

        \(\left(\vec{OC} + r\cdot \vec{CD} - \vec{OA}\right) \cdot \vec{AB} = 0\).

Answer 3

Wir haben ein Parallelogramm mit den Punkten A(2/-3/1), B(0/-2,4), C(1/1/6) und D(3,0,3).

- Ich habe schon die Vektoren AB, BC, CD, DA richtig ausgerechnet,

AB = [-2, 1, 3]

AD = [1, 3, 2]

- die Fläche des Parallelogramms ist A= 12,12(FE)

Das einfachste wäre hier Betrag des Kreuzproduktes von AB x AD

|AB x AD| = |[-7, 7, -7]| = √147 = 12.12 FE

- der Flächeninhalt des Dreiecks BCD ist A= 6,06(FE)

Die Diagonalen eines Dreiecks halbieren die Fläche des Paralellograms. Daher brauchst man nur die Fläche halbieren.

1/2·√147 = 6.062 FE