Alle Lösungen der Gleichung (z+i)^3=−i

Question

Aufgabe:

Alle Lösungen der Komplexen Gleichung (z+i)^3=−i

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier am besten vor?
LG Baker

Answer 1

Zur Multiplikation von komplexen Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

Potenziert man also eine komplexe Zahl mit 3, dann wird der Betrag mit 3 potenziert und das Argument verdreifacht.

Also drittel das Argument von \(-\mathrm{i}\) und ziehe die dritte Wurzel des Betrages von \(-\mathrm{i}\) um eine Lösung von

        \(r^3 = -\mathrm{i}\)

zu bekommen. Zwei weitere Lösungen bekommst du, indem du \{\frac{1}{3}\} bzw. \{\frac{2}{3}\} des Vollwinkels zum Argument addierst.

Ziehe von diesen drei Lösungen \(\mathrm{i}\) ab um die drei Lösungen für \(z\) zu bekommen.

Answer 2

Aloha :)

$$\left.(z+i)^3=-i\quad\right|\text{binomische Formel links}$$$$\left.z^3+3iz^2+3i^2z-i=-i\quad\right|+i$$$$\left.z^3+3iz^2+3i^2z=0\quad\right|i^2=-1$$$$\left.z^3+3iz^2-3z=0\quad\right|\text{\(z\) ausklammern}$$$$\left.z(z^2+3iz-3)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$\left.z=0\;\lor\;z^2+3iz-3=0\quad\right.$$

Die quadratische Gleichung können wir mit der pq-Formel lösen:$$z_{1;2}=-\frac{3i}{2}\pm\sqrt{-\frac{9}{4}+3}=-\frac{3i}{2}\pm\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{-3i\pm\sqrt3}{2}$$

Die 3 Lösungen lauten daher:$$z_0=0\quad;\quad z_1=-\frac{\sqrt3+3i}{2}\quad;\quad z_2=\frac{\sqrt3-3i}{2}$$

Answer 3

In der gegebenen Gleichung

(z+i)^3=−i kommt die Unbekannte z nur einmal vor. D.h. du kannst die Lösungen schrittweise "herausschälen".

Substituiere erst z+i = w und bestimme die 3 Lösungen von w^3 = -i.

Eine dieser Lösungen (also eines der drei w) kennt man normalerweise bereits, denn man hat schon mal i^3 ausgerechnet und dabei -i erhalten.

Die andern beiden oder gleich alle 3 auf einmal bekommst du, so wie oskar das beschrieben hat.