Differentialgleichung einer elastischen Feder

Question

Aufgabe:

Am Ende einer elastischen Feder mit der Federkonstante k befindet sich eine Masse m. Ich

will die Schwingung des Feder-Masse-Systems modellieren. Die Differentialgleichung zur Bestimmung der Auslenkung x(t) der Masse zum Zeitpunkt t (bei kleinen Auslenkungen) lautet:

\( x^{\prime \prime}(t)+\frac{k}{m} x(t)=0 \)

Berechnen Sie die allgemeine Lösung x(t) für m = 1 und k = 4.

Lösen Sie das AWP mit x(0) = 3, x'(0) = 2 und zeigen Sie, daß die Lösung des AWP in der Form
x(t) = A sin(ωt + α) dargestellt werden kann.

Ansatz:

Muss ich jetzt m und k einsetzen und dann das homogene Dgl. lösen?

Also: x'' + 4x = 0

Charakteristische Polynom: λ² = -4  => λ₁= 4i und λ₂= -4i

Also erhalte ich als homogene Lösung: x_h(t) = C₁ sin(4t) + C₂ cos(4t)

Muss ich jetzt das ableiten und das awp damit lösen oder bin ich auf der falschen spur?

Das wäre ja: x'_h(t) = 4C₁ cos4t - 4C₂ sin(4t)

Aus den AWP erhalte ich dann C₂=2 und C₁=1/2

Eingesetzt: \( \frac{1}{2} \)sin(4t) + 3cos(4t)

Wie bekomme ich das in die angeforderte Form und bin ich bis dahin überhaupt richtig unterwegs?

Wäre sehr dankbar, wenn jemand mal drüber schauen würde

Mit freundlichen Grüßen

Clemens

Answer 1

Hallo,

√4= 2 !

Charakt. Gleichung :λ^2+4=0

λ₁ =2 i

λ₂= -2i

----->
Lösung:

\( x(t)=c_{1} \cos (2 t)+c_{2} \sin (2 t) \)

x'(t)=- 2 C₁ sin(2t) + 2C₂ cos(2t)

AWB einsetzen:

--->

x(0) = 3 : 3=C_1√

x'(0) = 2 : 2=2 C₂ ->C₂=1

------->

\( x(t)=3 \cos (2 t)+ \sin (2 t) \)

-------------------------------------

|z|= √(3^2 +1^2)= √10

φ = arctan(3/1) =3

------->

x(t)= \( \sqrt{10} \sin \left(2 t+\tan ^{-1}(3)\right) \)

Comments

Ups, ein blöder fehler..

Danke für die antwort, die hilft mir weiter

Answer 2

Hallo ,

Deine Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind falsch.

λ1=2i,  λ2=-2i

Dann lautet Deine homogene Lösung x(t) = c_2 sin(2 t) + c_1 cos(2 t)

und die Lösung des Anfangswertproblems:

x(t) = sin(2 t) + 3 cos(2 t)

Comments

Oh ein echt blöder fehler

Vielen dank !

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Bei Deinem weiteren Problem hilft Dir folgender Suchbegriff bei Google:

sinusoid und linearkombination mit gleicher phase

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ich schaue mir das mal an, danke