Wahrscheinlichkeit, Sigma Regel

Question

Aufgabe:

28% der Deutschen über 65 Jahre besitzen einen Smartphone. X sei die Anzahl der Senioren, denen ein Smartphone gehört. Auf einer Veranstaltung sind 2000 Senioren zugegen. 600 Senioren behaupten, dass sie ein Smartphone besitzen. Bewerten Sie anhand der 2-Sigma-Regel, ob dieses Aussage glaubhaft ist!

Problem/Ansatz:

Ich komme hier nicht weiter. Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen.

Answer 1

Bei einem Mittelwert von μ und einer Abweichung von 2 σ liegen 95,5% aller Werte innerhalb dieses Bereiches.

Bei der großen Menge in der Grundgesamtheit kann man annehmen, daß diese normalverteilt ist.

Du mußt also ermitteln ob die Stichprobe mit ihrer Wahrscheinlichkeit von 30% noch im erlaubten Bereich von 28%+/- 2σ liegt.

Comments

Wie rechne ich das dann aus?

Answer 2

X: Anzahl der Senioren, die ein Smartphone besitzen; p=0,28; n=2000

μ=n·p=0,28·2000=560

σ=\( \sqrt{n·p·(1-p)} \)=\( \sqrt{560·0,72} \) ≈ 20.08 > 3 (Laplace-Bed. erfüllt)

2σ-Regel: P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,5% (95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ−2σ; μ+2σ]),

also: [560-2·20,08; 560+2·20,08] = [519,84; 600,16]

⇒ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5% besitzen zwischen 519 und 600 Senioren auf dieser Veranstaltung ein Smartphone. Die Behauptung, dass die 600 Senioren tatsächlich ein Smartphone besitzen, ist also sehr wahrscheinlich wahr.