Die Sigmaregeln sind eine Möglichkeit, bei normalverteilten Zufallsgrößen für gewisse Signifikanzniveaus die entsprechenden Konfidenzintervalle ohne Zuhilfenahme anderer Hilfsmittel schnell zu berechnen.
Beispiel 1. Eine Stichprobe der Größe \(n\) einer normalverteilten Zufallgröße \(X\) liefert einen Mittelwert von \(\overline x\) und eine empirische Standardabweichung von \(s\). Es soll der Erwartungswert \(E(X)\) auf einem Signifikanzniveau von 0.2 geschätzt werden.
Der Funktionsaufruf quantile_normal(0.2/2, 0, 1) in Maxima liefert ungefähr \(-1.28\) als Ergebnis. Das Konfidenzintervall für \(E(X)\) ist deshalb
\(\left[\overline{x} - 1.28\frac{s}{\sqrt n},\ \overline{x} + 1.28\frac{s}{\sqrt n}\right]\).
Beispiel 2. Gleiche Situation wie bei Beispiel 1, außer das Signifikanzniveau soll 0.1 betragen.
Anstatt Maxima anzuschmeißen und quantile_normal(0.1/2, 0, 1) aufzurufen, kann ich einfach die Sigamregel
\(P(\mu - 1.64\sigma\leq X\leq \mu + 1.64\sigma)\approx 0.9\ (=1-0.1)\)
verwenden und das Konfidenzintervall für \(E(X)\) zu
\(\left[\overline{x} - 1.64\frac{s}{\sqrt n},\ \overline{x} + 1.64\frac{s}{\sqrt n}\right]\)
berechnen.
