Berechnen Sie die Koordinaten der vier Schnittpunkte und den Flächeninhalt des Vierecks ABCD

Question

Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S (3I-2).

Die Gerade g₁ mit der Gleichung y = x-3 schneidet die Parabel in den Punkten A und B (A liegt auf dem linken Parabelast). 

Die Gerade g₂ verläuft parallel zu g₁ und ist um 4 Einheiten nach oben verschoben. Sie schneidet die Parabel in den Punkten C und D (D liegt auf dem linken Parabelast).

Berechnen Sie die Koordinaten der vier Schnittpunkte.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD.

Answer 1

Parabelgleichung in Scheitelpunktform:

f ( x ) = ( x - 3 ) ² - 2 

Geradengleichung g₁:

g₁ ( x ) = x - 3

Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsteme von f und g₁ :

( x - 3 ) ² - 2  = x - 3

<=> x ²- 6 x + 7 = x -3

<=> x ²- 7 x + 10 = 0

pq-Formel oder andere Lösungsmethode:

x1 = 2 , x2 = 5

also:

A = ( x1 | g₁ ( x1 ) ) = ( 2 | 2 - 3 ) = ( 2 | - 1 )

B = ( x2 | g₁ ( x2 ) ) = ( 5 | 5 - 3 ) = ( 5 | 2 )

 

Geradengleichung g₂ (parallel zu g₁, also gleiche Steigung, sowie  um 4 Einheiten nach oben verschoben, also ein um 4 größerer y-Achsenabschnitt, daher:

g₂ ( x ) = x + 1

Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsteme von f und g₂ :

( x - 3 ) ² - 2  = x + 1

<=> x ²- 6 x + 7 = x + 1

<=> x ²- 7 x + 6 = 0

pq-Formel oder andere Lösungsmethode:

x1 = 1 , x2 = 6

also:

C = ( x1 | g₂ ( x1 ) ) = ( 1 | 1 + 1 ) = ( 1 | 2 )

D = ( x2 | g₂ ( x2 ) ) = ( 6 | 6+1 ) = ( 6 | 7 )

 

Flächenberechnung:

Ist bei einem unregelmäßigen Viereck etwas schwierig. Grundsätzlich teit man dazu das Viereck in zwei Dreiecke auf, berechnet deren Flächeninhalte und summiert diese.

Zu Hilfe kommt uns vorliegend die Tatsache, dass die Punkte B und C die gleiche y-Koordiante haben und die Strecke BC eine Diagonale des Vierecks ist. Denn daher kann man

1) Die Länge dieser Strecke einfach berechnen (Differenz ihrer x-Koordinaten) und

2) sie als Teilungslinie des Vierecks nutzen um dieses in zwei Dreiecke , um es in zwei Dreiecke mit eben dieser Strecke als Grundseite zu teilen. Die Höhen der beiden Dreiecke, die man zur Berechnung ihrer Flächeninhalte benötigt lassen sich dann sehr einfach berechnen ( Differenz der y-Koordinaten von A und B bzw. von B und D).

Den Flächeninhalt F eines Dreickes berechnet man nach der Formel:

F = Grundseitenlänge * Höhe / 2

Die Länge der Grundseite ist für beide Dreiecke gleich, nämlich die Differenz der x -Koordianten der Punkte B und c, also

Grundseitenlänge = 5 - 1 = 4

Die Höhe h_cab des Dreiecks CAB ist gleich der Differenz der y-Koordinaten der Punkte B und A, also:

h_cab = 2 - ( - 1 ) = 3

Somit hat Das Dreieck CAB einen Flächeninhalt von

F_cab = Grundseitenlänge * h_cab / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 cm ²

Die Höhe h_bdc des Dreiecks BDC ist gleich der Differenz der y-Koordinaten der Punkte D und B, also:

h_bdc = 7 - 2 = 5

Somit hat Das Dreieck BDC einen Flächeninhalt von

F_bdc = Grundseitenlänge * h_bdc / 2 = 4 * 5 / 2 = 10 cm ²

Der Flächeninhalt F_ABCD des Vierecks ABCD beträgt somit:

F_ABCD = F_cab + F_bdc = 6 + 10 = 16 cm ²