Zeige, dass f bijektiv ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei f:(0,∞) -> (0,∞) mit \(f(x) = \frac{1}{x^2*\sqrt{x}} \). Zeige, dass f bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

Also es wurde folgendermaßen begründet:

f ist differenzierbar mit \(f'(x) = - \frac{1}{(x^2+\sqrt{x})^2}*(2x+\frac{1}{2*\sqrt{x}}) < 0, ∀x \in (0,\infty)  \). Da bedeutet f ist injektiv.

Ich verstehe den Zusammenhang hier jedoch nicht. Inwiefern sagt die Ableitung etwas über die Injektivität aus?

Darauf aufbauend wurde mithilfe der Grenzwerte und dem Zwischenwertsatz gezeigt, dass f auch surjektiv ist, was ich verstanden habe.

Nur den ersten Schritt mit der Ableitung und der Injektivität habe ich nicht richtig verstanden.

Answer 1

Ich verstehe den Zusammenhang hier jedoch nicht. Inwiefern sagt die Ableitung etwas über die Injektivität aus?

Wenn die Ableitung immer negativ ist ( wie beim Beispiel), dann ist die Funktion

streng monoton fallend, also injektiv.

Comments

Danke, jetzt verstehe ich!