Bestimme das größte Intervall I ⊂ R mit -1 ∈ I, sodass die Einschränkung ƒΙi : I → R von ƒ auf I injektiv ist,

Question

Aufgabe:

geg.: R → R, ƒ(x) := ln (1+(x-1)^2)

Bestimme das größte Intervall I ⊂ R mit -1 ∈ I, sodass die Einschränkung ƒΙi : I → R von  ƒ auf I injektiv ist,

und berechne die inverse Funktion von  ƒΙi : I → ƒ( I ), wobei  ƒ ( I ) := [ ƒ (x) Ι x ∈ I] sei.

Answer 1

Hallo,

wir untersuchen, für welche \(y \in \mathbb{R}\) es ein oder genau ein \(x \in \mathbb{R}\) gibt mit \(f(x)=y\):

$$f(x)=y \iff \ln(1+(x-1)^2)=y \iff 1+(x-1)^2=e^y$$

$$\iff (x-1)^2=e^y-1$$

Man sieht: Eine Lösung x kann es nur geben, wenn \(y \geq 0\) ist. Unter dieser Bedingung:

$$ \iff |x-1|=\sqrt{e^y-1}$$

Man sieht: für \(y>0\) hat dieser Gleichung jeweil 2 Lösungen. Da nach einem Intervall gefragt ist, das -1 enthält, setzen wir \(I:=(-\infty,1)\). Für \(x \in I\) gilt:

$$f(x)=y \iff 1-x=\sqrt{e^y-1} \iff x=1-\sqrt{e^y-1}$$

Die rechte Seite definiert dann auch die Umkehrfunktion.

Gruß