Seien f, g : I → R, wobei I ⊂ R≥0 ein Intervall... Zeige (1) (f + g) ∈ O(h^(min (p,q)) für h → 0

Question

Seien f, g : I → R, wobei I ⊂ R≥0 ein Intervall mit 0 ∈ I ist.

(a) Es gelte f ∈ O(h^p) und g ∈ O(h^q) für h → 0 und geeignete p, q ∈ N. Zeigen Sie:
(1) (f + g) ∈ O(h^(min (p,q)) für h → 0 und
(2) (f · g) ∈ O(h^(p+q)) für h → 0.
(b) Die Funktion g habe keine Nullstellen nahe 0. Zeigen Sie:
f ∈ o(g) ⇒ f ∈ O(g) für h → 0.

Zur Erinnerung an die Definitionen:
f ∈ O(g) fur h → 0 :⇔ ∃C>0∃h0>0∀h∈(0,h0)∩I
|f(h)| ≤ C|g(h)| und f ∈ o(g) für h → 0 :⇔ lim h→0 h∈I |f(h)| |g(h)|
= 0.
Für den letzten Fall habe g keine Nullstellen nahe 0.
Hinweis: Oft schreibt man f ∈ O(g(h)), f(h) ∈ O(g(h)) oder sogar f = O(g(h)), falls eigentlich
f ∈ O(g) gemeint ist.

Comments

Hallo

 wie weit bist du denn gekommen, wenn du die Def von O(h^p) einsetzt dann ist es einfaches nachrechnen.

Gruß lul

---

Tipp: Zu Landau-Symbolen findest du schon hier https://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole#Definition relativ viel.

Melde dich nochmals mit deinen Ansätzen, falls die Frage noch aktuell ist.

---

Hallo lul und Lu

ich sitze gerade auch an der Aufgabe und weiß gar nicht weiter.

Habe mich mal an luls Tipp versucht die Definition von O(h^p) einzusetzen :

a.)

(1) 

f  ∈ O(h^p ) für h → 0 ⇔  ∃_C>0 ∃_h0>0 ∀_{h∈(0,h0) ∩ I}  |f(h^p)| ≤ C| j(h^p)|
g ∈ O(h^q ) für h → 0 ⇔  ∃_C>0 ∃_h0>0 ∀_{h∈(0,h0) ∩ I}  |g(h^q)| ≤ C| j(h^q)|


(f + g) ∈ O(h^min(p,q) ) ⇔ |f(h^p)| +  |g(h^q)| ≤ C| j (h^min(p,q) )|

Aber was nun ? Oder ist das schon falsch ? 

Liebe Grüße