Hallo,
da Du bereits zwei Antworten erhalten hast, die IMHO beide nicht zu Deiner Frage passen, will ich es mal versuchen.
Die untere linke Ecke der Scheibe habe die Koordinate \((x,\, y)\). Dann ist das Fläche der verbleibende Scheibe$$A = (4-x)(6-y)$$Diese Fläche \(A\) soll maximal werden und ist somit die Hauptbedingung. Da sich die Position der unteren linken Ecke auf der Funktion \(f\) befindet, gilt die Nebenbedingung$$y = 4-x^2$$Einsetzen in die Hauptbedingung, Ableiten und Nullsetzen gibt$$\begin{aligned} A &= (4-x)(6-(4-x^2)) \\ &= (4-x)(2+x^2) \\&= -x^3 +4x^2 - 2x + 8 \\ A' &= -3x^2 + 8x - 2 \\ A'' &= -6x + 8 \\ A'(x_e) &= -3x_e^2 + 8x_e - 2 = 0 \\ x_{e1,2} &= \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot (-3)\cdot(-2)}}{2 \cdot (-3)} \\&= - \frac 13 \left( -4 \pm \sqrt{10}\right)\end{aligned}$$Das sind zwei Lösungen. Nur für die Lösung$$x_{e2} = \frac 13(4 + \sqrt{10}) \approx 2,4 $$gilt, dass \(A''(x_{e2}) \lt 0\). Und damit beschreibt diese Lösung das Maximum.
Aber diese Lösung liegt außerhalb des Definitionsberereichs! \(\mathbb D=\{x|\, 0 \le x \le 2 \}\).
Da die Funktion für \(A(x)\) kubisch ist, und \(x_{e1}\) ein lokales Minimum ist, kann man davon ausgehen, dass \(A(x)\) im Bereich von \(x_{e1}\) bis \(x_{e2}\) monoton steigend ist. Folglich liegt der gesuchte Punkt am rechten Rand des Definitionsbereichs bei \(x_{\text{opt}} = 2\).
Hier noch mal ein Graph zur Veranschaulichung:
~plot~ 4-x^2;6*(x>0)*(x<4);[[-4|9|-2|7]];{2.4|-1.7};x=2 ~plot~
PS.: streng genommen müsste man noch den linken Rand \(x=0\) prüfen. Aber das kann schon rein augenscheinlich kein Maximum sein.
Gruß Werner
