Wiki-Artikel Relationen: "Eine Relation ist *eine* Teilmenge eines Kartesischen Produktes?"

Question

Zum Wiki-Artikel Relationen habe ich folgende Hinweise bekommen:

1. In der Zeile "R ist eine Relation in der Menge M..." müsste ganz am Ende M statt N stehen, also "R enthalten in M x M" und nicht "R enthalten in M x N".

2. Desweiteren finde ich den folgenden Paragrafen etwas missverständlich. Ist es nicht so wie weiter oben beschrieben -- eine Relation ist *eine* Teilmenge eines Kartesischen Produktes? Das heißt ja, dass dann die Menge aller möglichen Relationen der *Potenzmenge* des Kartesischen Produktes entspricht und nicht "...die Menge aller möglichen Relationen gleich dem kartesischen Produkt der in Relation stehenden Mengen [ist]". Oder täusche ich mich?

1. Habe ich korrigiert zu:

R ist eine Relation in der Menge M. ⇔ R ⊆ M × M *

2. Kann dies jemand erläutern? Falls es missverständlich ist, wo steckt der Fehler im Text und wie sollte dies korrigiert werden?

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal, weil noch keiner geantwortet hat.

Aber es ist einfach so, wie der Kritiker geschrieben hat: Eine Relation ist eine Teilmenge von \(M \times N\), also ein Element der Potenzmenge von \(M \times N\). Alle Relationen sind alle Elemente der Potenzmenge von \(M \times N\). Damit ist die Menge aller Relationen die Potenzmenge von \(M \times N\).

Im übrigen finde ich den Ausdruck "der in Relation stehenden Mengen" nicht gelungen, weil es ja Elemente - eventuell nur einige - sind, die in Relation stehen. Ich würde vielleicht schreiben: "... Potenzmenge der Grundmengen M und N". Aber grundsätzlich sollte man nicht versuchen, mathematische Sachverhalte unbedingt in Sprache zu übersetzen.

Außerdem habe ich auf der Seite noch eine Ungenauigkeit entdeckt: In dem Beispiel schreibst Du

$$mRn=\{(2,1), \ldots \}$$

Links tauchen Variablen m und n auf, die rechts nicht verwendet werden, das ist syntaktisch falsch. Richtig wäre

$$R=\{(2,1), \ldots \}$$

Gruß

Comments

Danke für die Hinweise. Wie gesagt, stecke ich nicht im Thema. Der Artikel stammt von Prof. Naumburger.

"mRn" habe ich zu "R" geändert. Danke für den Hinweis. Ich hatte mich hier auch gewundert, da ich diese Notation vorher noch nicht gesehen hatte.

Zu dem Hinweis "Eine Relation ist eine Teilmenge ..." – Wie sollte dies im Text exakt korrigiert werden? Ich benötige die exakte Änderung bzw. Ergänzung des entsprechenden Satzes, sodass es stimmig ist. Danke.

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Hallo,

ich würde auf diese Frage nach der Menge aller Relationen ganz verzichten. Wenn ich den Text richtig verstehe, geht es eher um eine Einführung auf elementarem Niveau. Da würde ich Fragen, wie die "Menge aller Relationen" nur aufgreifen, wenn sie wirklich verwendet wird.

Ich würde also nur schreiben:

"Eine Relation beschreibt eine Beziehung zwischen den Elementen einer Menge M und einer Menge N (oft ist  M=N). Die Relation sondert also aus der Menge aller Paare (m,n) (mit \(m \in M\) und \(n \in N\)) diejenigen aus, die diese Beziehung erfüllen. Mathematisch wird eine Relation daher als Teilmenge der Menge aller möglichen Paare (m,n) definiert, also als Teilmenge des kartesischen Produkts: \(R \sube M \times N\)."

Mir ist übrigens noch ein Fehler aufgefallen, den ich bei meinem letzten Besuch wohl übersehen habe: Du schreibst am Ende des Beispiels: Es sind 9 Relationen möglich. Tatsächlich hat das kartesische Produkt \(M \times M\) 9 Elemente. Die Menge aller Relationen ist die Menge aller Teilmengen dieses kartesischen Produkts, deren Anzahlt ist \(2^9\).

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Danke für die Ergänzung. Ich habe dies nun entsprechend zu Beginn eingearbeitet https://www.matheretter.de/wiki/relationen

Den letzten Hinweis mit "Anzahl sei \( 2^9 \)" verstehe ich leider nicht. Wir haben die Menge mit 3 Elementen \( \{1, 2, 3\} \) und kombinieren diese.

1 mit 1; 1 mit 2; 1 mit 3
2 mit 1; 2 mit 2; 2 mit 3
3 mit 1; 3 mit 2; 3 mit 3

9 Relationen.

Im Artikel steht dazu noch:

\( R = \{ (2,1), (1,3), (2,4), (3,3), (3,1), (3,2) \}; \)

Diese Notation verstehe ich nicht, ich vermute es sind mögliche Teilmengen aus den Relationen? Ich stecke wie gesagt nicht im Thema und bin auch nicht der Autor.

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Hallo,

ich glaube, wir stoßen hier an die möglichen Grenzen eines Forums-Dialogs. Ich habe den Eindruck, Du unterscheidest nicht zwischen "Relation" und "Paaren, die in Relation zueinander stehen". In dem Beispiel mit \(M=\{1,2,3\}\) gibt es 9 Paare, aber ich kann mehr als 9 Relationen bilden, z.B.

$$R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\} $$

heißt unter anderem: (1,2) gehören zu Relation aber (1,3) nicht. Oder

$$R=\{(1,2),(1,2),(1,3\} $$

Oder auch

$$R=\{(2,3)\} $$Hier gehört nur (2,3) zur Relation und keine anderes Paar.

Wenn Du daran weiterarbeiten willst, ist es vielleicht sinnvoll, Du stellst eine neue Frage, etwa nach der didaktischen Einführung des Begriffs "Relation". Im Forum sind doch einige didaktisch versierte Leute unterwegs.

Gruß Mathhilf