Integration durch Substitution: ∫3x^2 e^ (x^3) dx

Question

Folgende Aufgaben sollen substituiert werden:

a) \( \int \limits_{\infty}^{1} 3 x^{2} e^{x^{2}} d x \)

b) \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x) e^{\cos (x)} d x \)

c) \( \int \limits_{a}^{b} t^{2} \cos \left(t^{3}\right) d t ; a, b \in R \)

Wie geht man bei solchen Aufgaben vor? Ich behandle diese Aufgaben zum ersten Mal, habe aber Vermutungen. Wenn man z.B. eine Aufgabe hat wie z.B. x⁴+2x²+3, kann man die Terme substituieren indem man u=x² setzt. Die Gleichung würde nun so aussehen  x²+2x+3 und man kann die p-q-Formel anwenden. Bei b) geht das Integral von 0 bis π/2 (1,57). Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind fast ähnlich, nur dass der Kosinus nach rechts verschoben ist.

Answer 1

Hallo

Du hast hier überall eine innere Funktion deren Ableitung (beinahe) als Faktor im Integranden steht.

Ich nehme mal c), weil man dort noch einen Faktor korrigieren muss

∫x^2 cos(x^3) dx

f(u) = cos u

u=x^3

u' = 3x^2

du/dx = 3x^2

1/3 du = x^3 dx

 

∫x^2 cos(x^3) dx

= ∫x^2 cos(u) dx      |u und x nicht mischen. x^2 dx durch 1/3u mischen

=∫1/3 cos(u) du

= 1/3 sin(u)   |_x=a^x=b         |rücksubst.

= 1/3 sin(x^3)  |_x=a^x=b      Jetzt Grenzen einsetzen

= 1/3 (sin(b^3) - sin(a^3))

Schau mal, ob du das verstehst und versuche das Verfahren bei a) und b) anzuwenden.
 

Comments

Aufgabe a):

\( \int 3 x^{2} e^{x^{3}} d x \)
\( f(u)=e^{(u)} \)
\( u=x^{3} \)
\( u^{\prime}=3 x^{2} \)
\( \frac{d u}{d x}=3 x^{2} \)
\( \frac{1}{3} d u=x^{3} d x \)

$$\int { 3x²{ e }^{ { x }^{ 3 } } } \quad dx\\ =\int { 3x²{ e }^{ (u) }\quad dx } \\ =\int { 1{ e }^{ (u) }\quad du } \\ =1{ e }^{ (u) }\quad |x={ a }^{ x=b }\\ =1{ e }^{ (x^3) }\quad |x={ a }^{ x=b }\\ =1({ e }^{ (1³) }-{ e }^{ (\infty ^3) })$$

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Sieht so weit gut aus. Schreibe noch
= 1(e - 0)

denn 1^3 = 1

und e^{unendlich hoch 3} = e^{unendlich} muss sicher

e^{MINUSunendlich hoch 3} = e^{MINUSunendlich}
sonst ist das Integral gar nicht definiert.

Da die untere Grenze eigentlich immer links der oberen Grenze eines Integrals liegt, sollte das sicher zu Beginn schon das Integral von MINUSunendlich bis 1 sein.

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Lösungsversuch zu Aufgabe b):

$$\int { sin(x){ e }^{ cos(x) }\quad dx } \\ f(u)={ e }^{ (u) }\\ u=cos(x)\\ u'=-sin(x)\\ \frac { du }{ dx } =-sin(x)\\ cos(x)\quad du=cos(x)\\ \int { sin(x){ e }^{ { cos(x) } } } \quad dx\\ =\int { sin(x){ e }^{ (u) }\quad dx } \\ =\int { cos(x){ e }^{ (u) }\quad du } \\ ={ sin }(u)\quad |x={ a }^{ x=b }\\ =sin(cos(x)){ e }^{ (cos(x)) })\quad |x={ a }^{ x=b }\\ =(sin(cos(x)){ e }^{ (cos(x)) })\\ =(sin(cos(1)){ e }^{ (cos(\infty )) })$$

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du/dx = -sinx ist noch ok. Aber dann
-du = sinx dx
∫sin(x)e^ (cos(x)) dx
= ∫sin(x) e^u dx           blau wird -du
= - ∫e^u du
= -e^ u                   zurück nach x
= -e^{cosx}               |₀π/2

= -e^{cos(π/2)} + e^{cos(0)}
= -e^0 + e^1
= -1 + e
= 1.71828

Die Grenzen sind 0 und π/2 nicht unendlich!
 

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Ich habe nochmal nachgeschaut und festgestellt, dass ich tatsächlich das Minuszeichen übersehen habe! Wieder etwas zu den Integrationsgrenzen dazugelernt! In Zukunft weiß ich Bescheid. Stimmt, wenn ich die e-Funktion hoch einen großen negativen Wert setze, dann strebt die Funktion gegen 0, aber sie wird nie die 0 erreichen! 1(e-0) ist dann der letzte Schritt von a).

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Bis hierhin ok. Dann noch 

 1(e-0) = e

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Ich habe nochmal Aufgabe b) unten neu verfasst. Sollte sich der eine oder andere Fehler eingeschlichen haben, dann kannst du mir Bescheid geben:

$$\int { sin(x){ e }^{ cos(x) }\quad dx } \\ f(u)={ e }^{ (u) }\\ u=cos(x)\\ u'=-sin(x)\\ \frac { du }{ dx } =-sin(x)\\ -du=sin(x)\quad dx\\ \int { sin(x){ e }^{ { cos(x) } } } \quad dx\\ =\int { sin(x){ e }^{ (u) }\quad dx } \\ =-\int { { e }^{ (u) }\quad du } \\ =-{ e }^{ u }\quad |x={ a }^{ x=b }\\ ={ -e }^{ cos(x) }\quad { | }_{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }\\ ={ -e }^{ cos(\frac { \pi  }{ 2 } ) }+{ e }^{ cos(0) }\quad \\ ={ -e }^{ 0 }+{ e }^{ 1 }\\ =-1+e\\ =1,71828$$

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Bitte gern geschehen! Sieht jetzt gut aus. Normalerweise sollte man die Integrationsgrenzen durchgehend hinschreiben, was aber dann noch einen Zusatzaufwand verursacht bei den Integralen, die du am Schluss haben. Da muss als Grenze dann u(GRENZE1) resp. u(GRENZE2) stehen. Nach der Rücksubstitution hast du dann wieder die ursprünglichen Grenzen, die du für x einsetzen kannst