Kleiner Tipp: Integrieren ist ja nur die Umkehrung des Ableitens. Man macht quasi eine Ableitung rückgängig bzw. sucht eine Funktion, die man ableiten muss, um das Ergebnis zu erhalten.
f(x) = sin(2·x)
Ableiten würde man so einen Term mit der Kettenregel
f'(x) = 2·cos(2·x)
f''(x) = 2·2·(- sin(2·x))
f'''(x) = 2·2·2·(- cos(2·x))
f''''(x) = 2·2·2·2·(sin(2·x))
Wir sehen also, dass die trigonometrische Funktion immer von sin auf cos und umgekehrt wechselt und dazu noch teilweise das Vorzeichen ändert. Weiterhin kommt beim Ableiten immer der Faktor 2 hinzu.
Beim Integrieren erwarten wir also auch eine Änderung der trigonometrischen Funktion und dass ein Faktor 2 entfällt.
∫ sin(2·x) dx = 1/2·∫ 2·sin(2·x) dx = 1/2·(- cos(2·x)) + C = - 1/2·cos(2·x) + C
Fachlich ist das jetzt die Umkehrung der Kettenregel, die man benutzen kann, wenn die innere Ableitung als Faktor vor der Funktion steht. Dort gilt dann:
∫ g'(x)·f'(g(x)) dx = f(g(x)) + C
Das siehst du unmittelbar, wenn du die rechte Seite mittels der Kettenregel ableitest.
[f(g(x)) + C]' = g'(x)·f'(g(x))
Ich konnte früher nicht besonders gut integrieren, aber ich konnte sehr gut ableiten. Mir hat es immer geholfen, wenn man durch logische Überlegungen eine Idee hat, wie eine Stammfunktion aussehen könnte. Dann kann man, wie Lu es in der anderen Antwort geschrieben hat, seine Vermutung hinschreiben und probeweise ableiten. Passt das Ergebnis, hat man die Stammfunktion gefunden. Passt es nicht, schaut man, wie man seine Stammfunktion anpassen könnte, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. In der Schulmathematik findet man so fast immer eine Stammfunktion. Ausnahmen wie f(x) = 1/x mal ausgenommen.
