Wieso sind die Funktionen differenzierbar?

Question

Ich soll die Differenzierbarkeit der folgenenden Funktionen begründen. Mit dem Differenzenquotienten würden sich sehr lange Terme ergebn, was vielleicht nicht der richtige Ansatz ist.

1.) f(x)=6x^7 + 3x^5 -cos(3,18)x^3 - sin(0,1)      R->R   Reicht hier als Begründung das Polynome stetig sind?

2.) f(x)=(sin(x^4 +  2x))^5    
3.) f(x)= x arctan(xln(x))      
Es bereitet mir Schwierigkeiten ein passende Begründung zu finden die schlüssig und richtig ist. Kann sich jemand die Funktionen angucken, dem so etwas leicht von der Hand geht?

Answer 1

Was für Ableitungsregeln kennst du denn?

Normalerweise sollten Produkt-/Summen-/Quotienten-/ und Kettenregel bekannt sein, d.h. insbesondere dass Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen differenzierbarer Funktionen differenzierbar sind. D.h. du müsstest dir nur anschauen, wie sich die Funktionen zusammensetzen und ob die Komponenten differenzierbar sind. Wenn du damit nicht weiterkommst musst du den Differenzenquotientenbilde. Stetigkeit ist leider nie hinreichen für Differenzierbarkeit, aber notwendig. Wenn du zeigen kannst, dass eine Funktion nicht stetig ist, dann ist sie auch nicht differenzierbar.

1.) ist z.B. nur ein Polynom mit reellen Koeffizienten und Polynome sind immer differenzierbar

2.) ist \(x^{5}\circ sin(x)\circ  (x^{4}+2x)\), alle bekanntermaßen differenzier, also auch die Verkettung

3.) ist \(x\cdot (\arctan(x)\circ (x\cdot ln(x))\), ebenfalls alle differenzierbar (eventuell Definitionsbereich beachten)

Comments

Die Definitions- und Wertebereiche sind vorgegeben. Die Differenzierbarkeit wird für alle Funktionen Vorausgesetzt. Also brauche ich mir darum keine Gedanken machen. Sehe ich das richtig?

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Hast du nicht gefragt, ob diese Funktionen differenzierbar sind? JoeTheCrow hat das nun begründet.

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Ja ich muss das auch begründen. Es ist nur schon Vorausgesetzt worden dass die funktionen diffbar sind mit def-bereich dazu. Also brauche ich den def-bereich für die begründung nicht beachten, da die Voraussetzung in der aufgabe ja sagt dass die funktion auf dem def-bereich diffbar sind.