Aloha :)
Der Plot vom "Coach" hat mich auf eine Idee gebracht. Er hat als Abschätzung \(e^{1/e}\) angegeben. Wenn es sich bei deinem \(n\) um natürliche Zahlen handelt, kann man aus dem Plot vom "Coach" erkennen, dass \(\sqrt[3]{3}\) die kleinstmögliche Abschätzung sein sollte.
Wir betrachten das Monotonie-Verhalten der Funktion$$f(x)\coloneqq x\,\frac{\ln3}{3}-\ln x\quad;\quad x\in\mathbb R^+$$
Wie der Plot zeigt, ist sie wie erwartet nicht überall positiv.
~plot~ x*ln(3)/3-ln(x) ; [[0|4|-0,01|0,2]] ~plot~
Da \(x\) schneller wächst als \(\ln x\) erwarten wir, dass \(f(x)\) ab einem bestimmten \(x\) monoton wächst. Wir prüfen daher, für welche \(x\) die erste Ableitung \(f'(x)\ge0\) ist:$$f'(x)=\frac{\ln3}{3}-\frac{1}{x}\stackrel?{\ge}0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\ln3}{3}\ge\frac{1}{x}\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\frac{3}{\ln3}\approx2,73$$
Daher gilt insbesondere für alle \(x\ge3\):$$f(x)\ge f(3)=3\,\frac{\ln3}{3}-\ln 3=0\implies x\,\frac{\ln 3}{3}-\ln x\ge0\implies \frac{x}{3}\,\ln3\ge\ln x\implies$$$$\ln\left(3^{x/3}\right)\ge \ln x\implies 3^{x/3}\ge x\implies 3^{1/3}\ge x^{1/x}\implies\sqrt[x]{x}\le\sqrt[3]{3}$$
Da inbseondere \(1^1=1\) und \(2^{1/2}\approx1,41\) kleiner als \(\sqrt[3]{3}\approx1,44\) sind, gilt für alle \(n\in\mathbb N\):$$\boxed{\sqrt[n]{n}\le\sqrt[3]{3}}<e^{1/e}$$
Eine bessere Abschätzung für alle \(n\in\mathbb N\) gibt es nicht, weil \(\sqrt[3]{3}\) für \(n=3\) sogar angenommen wird. Ich hoffe, dass du nun mit dieser Abschätzung besser klar kommst.
