Ungleichungen Aufgabe Fallunterscheidungen

Question

Aufgabe:

1/x-1 - 2/x+2>=0

Problem/Ansatz:

Die Auflösung verstehe ich und die ist recht simpel Lösung x<=4, aber die Fallunterscheidung verstehe ich überhaupt nicht. Kann mir dies jemand erklären, die Vorgehensweise. DANKE

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+2}\ge0\Longleftrightarrow\frac{(x+2)-2(x-1)}{(x+2)(x-1)}\ge0\Longleftrightarrow\frac{4-x}{(x+2)(x-1)}\ge0$$

Jetzt brauchst du dir eigentlich nur zu überlegen, wann Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben, denn nur dann ist der Bruch \(\ge0\).

1. Fall: Zähler und Nenner positiv$$\text{a)}\quad 4-x\ge0\;\land\;x+2>0\;\land\;x-1>0\implies x\le4\;\land\; x>-2\;\land\;x>1\implies 1<x\le4$$$$\text{b)}\quad 4-x\ge0\;\land\;x+2<0\;\land\;x-1<0\implies x\le4\;\land\; x<-2\;\land\;x<1\implies x<-2$$

2. Fall: Zähler und Nenner negativ$$\text{a)}\quad 4-x\le0\;\land\;x+2>0\;\land\;x-1<0\implies x\ge4\;\land\; x>-2\;\land\;x<1\implies \{\}$$$$\text{b)}\quad 4-x\le0\;\land\;x+2<0\;\land\;x-1>0\implies x\ge4\;\land\; x<-2\;\land\;x>1\implies\{\}$$Dieser Fall steuert keine Lösung bei.

Die Lösungsmenge ist also:$$L=\left\{x\in\mathbb R\,\big|\,x<-2\;\lor 1<x\le4\right\}$$

~plot~ 1/(x-1)-2/(x+2) ; [[-10|6|-4|4]] ~plot~

Comments

Danke für deine Antwort, leider verstehe ich es nicht ganz. Du hast vier mal das Gleiche kopiert, einfach nur bei 4 und 1 das Zeichen gewechselt aber bei 2 nicht? wieso den

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Zähler und Nenner müssen dasselbe Vorzeichen haben.

Zähler positiv: \(4-x\ge0\implies x\le4\)

Nenner positiv: \(x+2>0\) und \(x-1>0\implies x>-2\) und \(x>1\)

Nenner positiv: \(x+2<0\) und \(x-1<0\implies x<-2\) und \(x<1\)

Zähler negativ: \(4-x\le0\implies x\ge4\)

Nenner positiv: \(x+2<0\) und \(x-1>0\implies x<-2\) und \(x>1\)

Nenner positiv: \(x+2>0\) und \(x-1<0\implies x>-2\) und \(x<1\)