Aloha :)
Die Schulden in M€ zum Jahresende betragen (\(t=0\) entspricht dem Jahresende 2000):$$s(t)=\frac{1}{100}\left(-t^3+12t^2+60t+200\right)\quad;\quad t\ge0$$
~plot~ 1/100*(-x^3+12x^2+60x+200) ; {0|2} ; {5|27/4} ; {10|10} ; [[-0,5|18|0|11]] ~plot~
zu a) Hier brauchst du nur einzusetzen:$$s(0)=2\,\mathrm{M€}\quad;\quad s(5)=\frac{27}{4}\,\mathrm{M€}=6,75\,\mathrm{M€}\quad;\quad s(10)=10\,\mathrm{M€}$$
zu b) Hier ist das Maximum der Funktion \(s(t)\) gesucht. Passende Kadidaten finden wir dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=s'(t)=\frac{1}{100}\left(-3t^2+24t+60\right)=\frac{-3}{100}\left(t^2-8t-20\right)=-\frac{3}{100}(t-10)(t+2)$$Wegen \(t>0\) finden wir nur \(t=10\) als einzigen Kandidaten für ein Extremum.
Mit der zweiten Ableitung prüfen wir den Kandidaten:$$f''(t)=\frac{-3}{100}(2t-8)=\frac{-6}{100}(t-4)\implies f''(10)=\frac{-36}{100}<0\implies\text{Maximum}$$Da wir in a) bereits den Funktionswert an der Stelle \(t=10\) bestimmt haben, können wir die Maximalverschuldung im Jahr 2010 mit \(10\,\mathrm M€\) angebgen:$$\text{Max}(10\,|\,10)$$
zu c) Der Punkt mit dem höchsten Schuldenanstieg ist der Wendepunkt (denn danach steigen die Schulden ja wieder langsamer). Die Kandidaten für Wendepunkte sind die Nullstellen der 2-ten Ableitung:$$0\stackrel!=f''(t)=\frac{-6}{100}(t-4)\implies t=4$$Wegen \(f'''(t)=\frac{-6}{100}\ne0\) liegt bei \(t=4\) tatsächlich eine Wendpunkt vor.
Ende des Jahres 2004 wuchsen die Schulden also am schnellsten.
