Ungleichungen Aufgabe Fallunterscheidung

Question

Aufgabe:

j) x-2/x+4<x-5/x+2

Hier sollte ich die Fallunterscheidung herausfinden
Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich dies überhaupt nicht mit Fallunterscheidung bin echt verzweifelt bei dieser Thematik, kann mir dies jemand Schritt für Schritt erklären. RIESEN DANK

Answer 1

Aloha :)

Lass uns die Ungleichung erstmal vereinfachen:

$$\frac{x-2}{x+4}<\frac{x-5}{x+2}\;\;\Longleftrightarrow\;\;\frac{x+4-6}{x+4}<\frac{x+2-7}{x+2}\;\;\Longleftrightarrow\;\;1-\frac{6}{x+4}<1-\frac{7}{x+2}\;\;\Longleftrightarrow$$$$-\frac{6}{x+4}<-\frac{7}{x+2}\;\;\Longleftrightarrow\;\;\frac{6}{x+4}>\frac{7}{x+2}\;\;\Longleftrightarrow\;\;\frac{6(x+2)}{(x+4)(x+2)}>\frac{7(x+4)}{(x+2)(x+4)}$$

Jetzt müssen wir durch geeignete Fallunterscheidungen den Nenner loswerden.

1. Fall: $x<-4$ oder $x>-2$

Hier ist der Nenner $(x+4)(x+2)$ positiv, weil für $x<-4$ beide Faktoren negativ und für $x>-2$ beide Faktoren positiv sind. Damit haben wir die Forderung:$$6(x+2)>7(x+4)\;\;\Longleftrightarrow\;\;6x+12>7x+28\;\;\Longleftrightarrow\;\;-x>16\;\;\Longleftrightarrow\;\;x<-16\quad\checkmark$$Dieser Fall liefert uns als Lösung also $x<-16$.

2. Fall: $-4<x<-2$

Hier ist der Nenner $(x+4)(x+2)$ negativ, weil der erste Faktor positiv und der zweite Faktor negativ ist. Damit haben wir die Forderung:$$6(x+2)<7(x+4)\;\;\Longleftrightarrow\;\;6x+12<7x+28\;\;\Longleftrightarrow\;\;x>-16\quad\checkmark$$Deser Fall liefert uns als Lösung also $-4<x<-2$.

Zusammengefasst haben wir die Lösungsmenge:$$L=\{x\in\mathbb R\,\big|\,x<-16\;\lor\;-4<x<-2\}$$

Comments

Hallo DANKE für deine Antwort. Verstehe den ersten Schritt nicht. Wie bist du auf x+4-6 und x+2-7 gekommen. Ich habe den KGV angewendet aber komme auf eine andere Zahl.

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Die Idee hinter der Umformung war, den Zähler zu vereinfachen. Ich mache die Schritte mal etwas ausfühlicher vor:

$$\frac{x-2}{x+4}=\frac{x+\,\overbrace{4-6}^{=-2}}{x+4}=\frac{(x+4)-6}{x+4}=\frac{x+4}{x+4}-\frac{6}{x+4}=1-\frac{6}{x+4}$$$$\frac{x-5}{x+2}=\frac{x+\,\overbrace{2-7}^{=-5}}{x+2}=\frac{(x+2)-7}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}-\frac{7}{x+2}=1-\frac{7}{x+2}$$

Durch diese Umformung werden wir die $x$ im Zähler los, wodurch sich die Fallunterscheitung erheblich vereinfacht.

Answer 2

Alles auf eine Seite und HN bilden:

((x-2)(x+2)-(x-5)(x+4))/((x+4)(x+2))<0

(x+16)/((x+4)(x+2) <0

Fallunterscheidung:

1.Fall:

(x+16) >0 u. (x+4)(x+2)<0

...

2. Fall:

(x+16) <0 u. (x+4)(x+2)>0

...