Warum ist ein Kreis rund?

Question

Aufgabe:

Warum ist ein Kreis rund?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, die Frage klingt total albern, aber ich hatte einen Gedanken, der mich zu diesem Thema einfach nicht mehr loslässt.

Angefangen hat alles mit einem Dreieck. Die Summe der Innenwinkel eines Dreieckes sind bekannterweise 180° und bei einer gleichen Verteilung ist jeder Winkel 60° groß, das lernt man in der Grundschule. Wenn wir uns ein Viereck anschauen, beträgt die Summe der Innenwinkel dann schon 360° und bei Gleichverteilung hat jede Ecke einen rechten Winkel (90°). Und so geht das ja immer weiter (https://www.kapiert.de/mathematik/klasse-5-6/geometrie/vierecke-und-der-kreis/winkelsumme-in-vielecken/). Jetzt komme ich vom Drei- oder Viereck zum n-Eck.

Wenn man jetzt für die Summe der Innenwinkel (WS) eine Formel aufstellt, lautet sie: WS_n = 180° + 180° x (n-3), wobei n für die Anzahl der Ecken steht. Die Gradzahl des einzelnen Winkels (WE) ergibt sich dann wie folgt: WE_n = WS_n / n

Beispiel: für n=360°: WS₃₆₀ = 180° + (180°*357) = 64440°; WE₃₆₀ = 64400 / 360 = 179°

Das müsste so weit hinhauen, weil rein von der Logik her: wenn ich um einen Kreis in 360° herum bin und diesen dann mit 360 Punkten ausstatte, dann kann der Unterschied zu jedem Punkt nur 1° sein.

Jetzt kommen wir aber langsam zu meinem Problem:

Wenn ich das jetzt immer so weiter spiele (z.B. mit einem 720-Eck, einem 1440-Eck usw.) nähern sich die Werte für einen einzelnen Innenwinkel immer mehr den 180° an. Wenn ich das als Folge betrachte, die gegen den Grenzwert konvergieren soll, würde ich es wie folgt schreiben: lim WE_n = 180° + 180°x(n-3) / n bzw. wenn ich das richtig kürze auch einfach

lim WE_n = 180°(n-2) / n. Und wenn der ganze Spass gegen unendlich konvergiert, musste sich (n-2)/n zu 1 werden, wodurch wir einen Grenzwinkel von 180° erhalten. Das heißt, dass ein einzelner Winkel eines  "Unendlich-Ecks" einen Winkel von 180° hat.

Wenn ich mir jetzt noch bildlich vor Augen führe, dass ein z.B. 360-Eck oder ein 720-Eck optisch schon sehr einem Kreis ähnelt, dann stelle ich mir folgende Fragen:

1. Ist ein Kreis ein "Unendlich-Eck"? Wenn ja, Warum ist ein Kreis dann rund, wenn doch theoretisch jeder Innenwinkel einen Wert von 180° annimmt. Müsste ein Kreis nicht über eine begrenzte Menge an Punkten verfügen, damit er im Sinne der Innenwinkel rund werden kann?

2. Wenn ein "Unendlich-Eck" kein Kreis ist, ist es dann nicht zumindest eine Linie und kein 2-dimensionaler Körper mehr?

Ich möchte abschließend noch sagen, dass mich diese Frage schon eine Weile beschäftigt. Entweder sehe ich was ganz offensichtliches nicht oder hab z.B. einen aktuellen mathematischen Widerspruch erkannt, der aber schon allgemein verbreitet ist. Ich bin kein Mathematiker, ich habe nur Abi. Aber ich würde mich freuen, wenn mir jemand eine Antwort geben könnte.

Answer 1

Hallo KingOllof,

eine schöne Frage! Über ähnliche Dinge hat sich schon vor langer Zeit der Philosoph Zenon von Elea seine Gedanken gemacht. Du bist also in guter Gesellschaft ;-)

Ist ein Kreis ein "Unendlich-Eck"?

Ja - IMHO kann man das so sehen.

Warum ist ein Kreis dann rund, wenn doch theoretisch jeder Innenwinkel einen Wert von 180° annimmt.

Nun - warum nicht! Betrachten wir dazu zunächst eine 'Ecke' \(P\) des Kreises:

Wenn man die "Seiten" links und rechts von \(P\) verlängert, so erhält man eine Gerade, nämlich die Tangente in \(P\). Die beiden "Seiten" des Kreises, die bei \(P\) zusammen stoßen haben eine gemeinsame Richtung und bilden somit einen Winkel von \(180°\).

Das Problematische bei Deiner Überlegung ist der Übergang vom Endlichen (z.B. vom 1440-Eck) zum 'Unendlich-Eck'. Dazu gehe ich mal näher ran und betrachte nur einen kleinen Ausschnitt des Kreises:

Mal angenommen, auf dem Weg in die Unendlichkeit sind wir bei einer Teilung des N-Ecks angekommen, bei der eine Seite durch die Punkte \(PQ\) begrenzt ist. Den Innenwinkel \(\varphi_n\) dieses N_Ecks habe ich hellbraun markiert. Sind die Strecken \(|PQ'|\) und \(|Q'Q|\) bekannt, so ist$$\tan \left(\frac{180° - \varphi_n}2\right) = \frac{|QQ'|}{|PQ'}$$Verdoppelt man nun die Anzahl der Ecken, wäre die an \(P\) angrenzende Seite \(PR\). Den neuen Winkel \(\varphi_{n+1}\) habe ich grün markiert. Dabei kann man näherungsweise davon ausgehen, dass $$\tan \left(\frac{180° - \varphi_{n+1}}2\right) =  \frac{|RR'|}{|PR'|} = \frac{\frac14|QQ'|}{\frac 12|PQ'|} = \frac 12 \tan \left(\frac{180° - \varphi_n}2\right)$$D.h. mit jeder Verdoppelung der Anzahl der Ecken halbiert sich dieser Ausdruck mit dem Tangens. Das bedeutet auch:$$\lim_{n \to \infty} \frac{180-\varphi_n}{2} = 0 \implies \varphi_{\infty} = 180°$$Warum erzähle ich das eigentlich? Das wußtest Du doch schon ;-).

Ich habe das ausgeführt, weil ich nun den Umkehrschluß mache. Der Ausgangswert dieses Tangens, der aus der (endlichen!) Seite \(PQ\) resultiert, setzt sich zusammen aus unendlich vielen 'Stücken', die alle unendlich klein sind, also praktisch =0 sind. $$\tan \left(\frac{180° - \varphi_n}2\right) = \lim_{k \to \infty} 2^k \cdot \left( \underbrace{\tan \left(\frac{180° - \varphi_{n+k}}2\right)}_{\to 0}\right)$$Und diese unendliche Summe ist eben nicht 0, sondern endlich. D.h. beim Entlanglaufen auf dem Umfang des Kreises im weiteren Verlauf der "Seiten" kommt man 'um die Kurve', obwohl in jedem einzelnen Schritt von einer Ecke zur anderen keine Richtungsänderung ersichtlich ist.

IMHO ist das von Dir beschriebene Problem verwandt mit dem Paradoxum von Achilles und der Schildkröte. Dieses Paradoxum kann man auflösen, wenn man erkennt, dass eine unendliche Summe von unendlich kleinen 'Stücken' eben nicht unendlich und auch nicht =0, sondern endlich sein kann.

Gruß Werner

Comments

@Werner-Salomon

Erstmal vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort! Das ist wirklich die erste, die ich hier lese und die nicht einfach nur sagt, geht nicht, sondern das auch plausibel darstellt. Und danke für das Lob :D

Wenn ich dich richtig verstehe, ist der Ansatz in der Theorie logisch, aber man kann eben nicht wirklich mit "unendlich" operieren? Weil sonst mein Kreis im Nichts verschwindet? (Der Ausgangswert dieses Tangens, der aus der (endlichen!) Seite \(PQ\) resultiert, setzt sich zusammen aus unendlich vielen 'Stücken', die alle unendlich klein sind, also praktisch =0 sind).

Dann muss aber als Nicht-Mathematiker kritisch nachfragen, ob dann die Definition nicht fehlerhaft ist?

Beim Kreis handelt es sich um eine ebene geometrische Figur, bei der unendlich viele Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben und eine Kreislinie ergeben.#

Oder ist das der Grund, wieso man nicht von Ecken, sondern Punkten redet?

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Wenn ich dich richtig verstehe, ist der Ansatz in der Theorie logisch, aber man kann eben nicht wirklich mit "unendlich" operieren?

man kann mit 'unendlich' operieren. Und die Mathematiker (und die Philosophen) sind wohl die ein einzigen die das auch tun. Man denke nur an die Infinitesimalrechnung.

(Der Ausgangswert dieses Tangens, der aus der (endlichen!) Seite \(PQ\) resultiert, setzt sich zusammen aus unendlich vielen 'Stücken', die alle unendlich klein sind, also praktisch =0 sind). Dann muss aber als Nicht-Mathematiker kritisch nachfragen, ob dann die Definition nicht fehlerhaft ist?

Nein - ich hatte ja im Vorfeld das kleine Wörtchen 'näherungsweise' eingefügt. Exakt stimmt mein Formelismus oben nur für eine Parabel. Im Scheitelpunkt einer Parabel ist die Kurve aber 'fast' ein Kreis(bogen). Zumal wenn man so nah ran geht, wie wir hier bei dieser Überlegung.

Oder ist das der Grund, wieso man nicht von Ecken, sondern Punkten redet?

Man redet nicht von 'Ecken' weil ein Kreis keine Knicke hat. Übertragen auf meinen Ansatz, der nur einen (infinitesimalen) Ausschnitt betrachtet, heißt dass, das die Änderung der 'Steigung' stetig ist. Die Steigung ändert sich (im kleinen!) linear - und das bedeutet nichts anderes, als dass die Krümmung konstant ist.

Ein Kreis ist die einzige Kurve mit konstanter Krümmung und zwar exakt \(1/r\), wenn \(r\) der Radius des Kreises ist.

Und das ist der Unterschied zu seiner Tangente. Umgekehrt könnte man doch auch fragen: Warum ist eine Gerade gerade? Ist sie, weil ihre Krümmung =0 ist, bzw. das \(r\) der Gerade unendlich ist.

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Wenn ich dich richtig verstehe, ist der Ansatz in der Theorie logisch, aber ...

Dein Ansatz ist richtig, nur Dein Schluß ist falsch. Du schließt aus den 180°, dass der Kreis nicht rund sein kann. Ich sage: der besagte Winkel ist 180° und der Kreis ist trozdem rund, weil sich die Krümmung aus eine unendlichen Folge unendlich kleiner Richtungsänderungen ergibt.

PS.: der erste Kommentar 'Ζήνων' von hj2166 war der Hinweis auf Zenon. Wie üblich als Orakel verschlüsselt

Answer 2

Ist ja ne schöne Überlegung.

Wenn du bei einem n-Eck zwei benachbarte Seiten betrachtest,

so bilden die ja zusammen den Innenwinkel. Für n gegen unendlich sind aber keine

Seiten mehr da, bzw. die beiden liegen sozusagen auf der Tangente an den

Kreis ( ähnlich wie bei der anschaulichen Deutung der

Ableitung: Sekante wird zur Tangente.) und bilden miteinander einen

Winkel von 180°.

Comments

Ist ja ne schöne Überlegung.

Fürwahr, eines Ζήνων würdig.

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Hallo mathef,

Aus deiner Antwort werde ich dennoch nicht ganz schlau, das klingt für mich wie eine Umformulierung meines Problems: dass ein Kreis eigentlich eine Linie sein sollte, weil sowohl bei der Linie als auch beim Kreis alle Innenwinkel aller Punkte bei 180° liegen.

Answer 3

Der Kreis ist eindeutig definiert:

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

2. Wenn ein "Unendlich-Eck" kein Kreis ist, ist es dann nicht zumindest eine Linie und kein 2-dimensionaler Körper mehr?

Körper sind gewöhlich dreidimensional. Du verwendest eine contradictio in adiecto.

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Geometrie)

Über bewährte Definitionen zu streiten ist meist müßig und unfruchtbar. (vgl. Axiome)

Comments

Ich finde die Idee auch faszinierend...klammere dich doch nicht an Definitionen fest! Das geht eher in Richtung Philosophie! Gut, die Überlegung zum 3-dimensionalen, weil er in der 2. Dimension nicht weiterkommt, ist eher SF als Mathe, aber im Prinzip sind seine Überlegungen doch völlig klar und logisch. Ich finde es schade, daß einige hier sich nur hinter Definitionen "verstecken müssen" und nicht abseits der ausgetretenen Wege auch einmal selber denken....

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Ihr landet mMn bei einem unendlichen n-Eck = Kreis ??

Das ist jedoch ein sinnfreier Begriff, weil man mit UNENDLICH nicht sinnvoll

operieren kann. Auch Hilberts Hotel ist letztlich nur absurdes Theater,

gut gedacht, aber nicht wirklich effektiv.

Man ist so schlau wie zuvor. Unendlichkeit entzieht sich dem

menschl. Vorstellungsvermögen. Das müssen wir einfach so hinnehmen.

EST MODUS IN REBUS (Horaz)!

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Sry, mit Körper meinte ich jetzt keine 3-Dimensionale Form, sondern eher einen Oberbegriff. Ich meinte dann vermutlich sowas wie ein geometrisches Gebilde / Figur.

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@Gast2016:

Meine Überlegung widerspricht doch in keinster Weise der Definition eines Kreises:

https://www.matheretter.de/wiki/kreis

"Beim Kreis handelt es sich um eine ebene geometrische Figur, bei der unendlich viele Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben und eine Kreislinie ergeben."

Zumal meine Überlegung sogar mit aufgeführt wird:

Wenn man Grenzwerte bereits kennt, kann man ebenfalls definieren, dass der Kreis ein regelmäßiges Polygon ist, das aus unendlich vielen Seiten besteht.

D.h. doch, unendlich viele Seiten, unendlich viele Punkte, die die Seiten zu einer geometrischen Figur zusammensetzen. Hier wird doch sogar mit "unendlich" operiert?

Ich muss aber auch einräumen, dass unter Merkmalen aufgeführt wird, dass ein Kreis eben keine Ecken hat. Finde ich widersprüchlich, wenn man von unendlich Seiten redet, aber ok. Deswegen ja mein Unendlich-Eck.

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Wenn man Grenzwerte bereits kennt, kann man ebenfalls definieren, dass der Kreis ein regelmäßiges Polygon ist, das aus unendlich vielen Seiten besteht.

Diese Aussage finde ich problematisch, da ein n-Eck endlich viele Seiten hat. Demnach müsste der Kreis abzählbar unendlich viele Seiten haben. Er enthält aber überabzählbar unendlich viele Punkte.

:-)

Answer 4

Zunächst einmal: ich erkenne an, wenn sich jemand Gedanken zu mathematischen Themen macht. Auf deine Gedanken einzugehen ist nicht ganz einfach - vor allem weil ich dich nicht verletzen möchte.

Zunächst ein kleiner Schreibfehler: Zitat: "Beispiel: für n=360°:" n ist eine Anzahl und kein Gradmaß. Nun zu deinem "Grenzwinkel" lim_n→∞(180°(n-2) / n)=180°. Gleichzeitig geht die Seitenlänge eines n-Ecks für n→∞ gegen 0. Insgesamt ergeben sich Widersprüche. Eine Sackgasse voller Widersprüche wird von der Mathematik gemieden.

Stattdessen bewegt man sich auf sicherem Terrain, wenn man feststellt, dass jeder Eckpunkt eines n-Ecks von einem festen Punkt den gleichen Abstand hat. Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen festen Punkt den gleichen Abstand haben, nennt die Mathematik "Kreis". Dies ist eine Definition des Begriffes Kreis, über deren Sinn kein Mathematiker ernstlich diskutiert.

(Nebenbei: Den Begriff "2-dimensionaler Körper" gibt es nicht.)

Comments

Also erstmal Schade, dass man sich in der Mathematik scheinbar nichts traut :D ("Eine Sackgasse voller Widersprüche wird von der Mathematik gemieden) .

Ansonsten haltet euch mal nicht so an den fitzeligen Fehlern in meiner Begriffsdefinition fest, ich bin das akademische Praktizieren der Mathematik nicht gewöhnt. Am Ende wollte ich dieses Forum nur nutzen, um diesen quälenden Gedanken loszuwerden und mir von jemanden klipp und klar erklären zu lassen, warum das nicht so ist.

Wenn ich das richtig verstehe, ist die Annahme falsch, dass ein Unendlich-Eck gleich einem Kreis entspricht. Da würde mich die genaue Argumentation interessieren. Hier wurde bisher lediglich auf die Definition eines Kreises verwiesen, aber genau das ist ja mein Punkt, Definition sind am Ende menschgemacht. Nach heutigem Verständnis mag sie stimmen, aber vielleicht in 1000 Jahren nicht mehr? Ich habe neulich erst gelesen, dass das Verständnis der Physik in Gefahr sei, weil man Teilchen gefunden hat, die man so nicht in bestehende Definitionen quetschen kann. Ich will also mit meiner Idee auch anregen.

Aber verletzten tust du mich nicht. Meine kleinen Notationsfehler waren mir klar, aber ich denke die Idee war deutlich.

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@ Kingollof:

Du schreibst: "Definitionen sind am Ende menschengemacht."

Aber es ist noch viel schlimmer: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles andere ist Menschenwerk."

Answer 5

Hallo Ollof,

ich finde deine Frage und die zum Teil recht emotionalen Diskussionen hier auch sehr interessant.

Meiner Meinung nach ist ein Kreis der Grenzwert eines n-Ecks mit n gegen unendlich.

Wenn du z.B. f(x)=1/x betrachtest und x gegen unendlich gehen lässt, ist der Grenzwert Null, wobei 1/x selber nicht Null wird, sondern beliebig klein.

Ebenso ist für mich ein Kreis kein Unendlich-Eck.

PS:

Wenn man die Außenwinkel eines regelmäßigen n-Ecks betrachtet, wird es etwas klarer.

Jeder Außenwinkel hat die Weite 360°/n.

Je größer n wird, desto kleiner ist der Winkel. Er ist aber immer etwas größer als Null.

Der Grenzwert für 360°/n für n gegen unendlich ist 0°, d.h. die Außenwinkel nähern sich diesem Wert beliebig genau.

:-)

Comments

Ich habe meine Antwort ergänzt.