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Die Gleichung der Tangente \(t(x)\) an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$
Wir kennen hier zwar \(f(x)=\sqrt x\), aber nicht \(x_0\). Dafür wissen wir, dass die Tangente \(t(x)\) durch den Punkt \(A(-1;0)\) gehen muss, das heißt:
$$0\stackrel!=t(-1)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(-1-x_0)=f(x_0)-f'(x_0)\cdot(1+x_0)$$Wir dividieren durch \(f'(x_0)\) und finden eine Gleichung für \(x_0\):$$0=\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}-(1+x_0)\implies x_0=\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}-1$$
Das sieht schlimmer aus als es ist, denn mit \(f(x_0)=\sqrt{x_0}\) und \(f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt x_0}\) finden wir:$$x_0=\frac{\sqrt{x_0}}{\frac{1}{2\sqrt x_0}}-1=\sqrt{x_0}\cdot2\sqrt{x_0}-1=2x_0-1\implies x_0=1$$
Damit haben wir die gesuchte Tangente gefunden:
$$t(x)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)=\sqrt{1}+\frac{1}{2\sqrt1}\cdot(x-1)=1+\frac{1}{2}(x-1)$$$$t(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$
~plot~ sqrt(x) ; x/2+1/2 ; {-1|0} ; {1|1} ; [[-2|4|-1|3]] ~plot~
