Gesucht ist der -cos^-1(-1/2)=?

Question

Gegen ist $$cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$$

Jetzt suche ich $$-cos^{-1}(-\frac{1}{2})=?$$

Wie mache ich das ohne Taschenrechner?

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du ausnutzen, dass Funktion und Umkehrfunktion ihre Wirkungen gegenseitig aufheben:$$\left.\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\quad\right|\cos(\pi-x)=-\cos(x)$$$$\left.\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\quad\right|\text{links Argument zusammenfassen}$$$$\left.\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\quad\right|\cos^{-1}(\cdots)$$$$\left.\cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)=\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\quad\right|\cos^{-1}(\cos(x))=x$$$$\left.\frac{2\pi}{3}=\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\quad\right|\cdot(-1)$$$$-\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{2\pi}{3}$$

Answer 2

Stell Dir einfach den Verlauf der Cosinus-Funktion vor:

Answer 3

Habt ihr die Winkelfunktionen am Einheitskreis definiert? Wenn ja:1. Zeichne einen Einheitskreis.

2. Auf der horizontalen Achse kannst du nun -1/2 und 1/2 abtragen.

3. Zwei vertikale Linien bei x=-1/2 und x=+1/2 zeichnen.

4. Schnittpunkte dieser beiden Geraden mit der Kreislinie mit dem Koordinatenurprung verbinden.

5. Winkel, der nach Voraussetzung pi/3 (also 60°) ist, anschreiben.

6. Die übrigen drei Winkel zu den andern Schnittpunkten anschreiben! (im Gegenuhrzeigersinn von der pos. x-Achse aus gemessen)

7. Beim Beweis: Farben verwenden und mit kongruenten Dreiecken argumentieren.