Wohlordnung und Totalordnung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4-5 [Schriftliche Ausarbeitung] Sei \( S \) eine durch \( \leq \) total geordnete Menge. Beweisen Sie detailliert (mit genauen Begründungen und sauberen Formulierungen), dass \( \leq \) eine Wohlordnung auf \( S \) bildet, falls jede nichtleere Teilmenge \( T \subseteq S \) ein minimales Element hat.

Problem/Ansatz:

Ich bin hier leider etwas ratlos und zerbreche mir hier schon die ganze Zeit den Kopf und daher die Frage:

Wie kann ich denn hier genau beweisen, dass die Teilmenge von S ein minimales Element?

Wäre wirklich um jede Hilfe dankbar!

Comments

Hallo,

wie habt Ihr denn "Wohlordnung" definiert?

Gruß Mathhilf

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Naja, der Professor macht die Definitionen gerne auf Englisch, also
wir definieren eine Wohlordnung so:

A total order ≼ on a set S forms a well-order if every non-empty subset of S has
a least element.

Deutsch:
Eine Wohlordnung ist eine Totalordnung, die ein kleinstes Element besitzt.

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und ein minimales Element ist - im Gegensatz zu einem kleinsten - eines, zu dem es kein kleineres in T gibt - oder? Dann wäre also ein kleinstes auf jeden Fall auch ein minimales.

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Genau, damit habe ich mich auch schon vertraut gemacht. Nun bleibt nur noch die Frage, wie kann man sowas genau beweisen? Induktion ist wohl eher nicht wirklich möglich, oder?  :-)

Answer 1

Hallo,

nach meinem Erkenntnisstand: Sei \(T \sube S\).

Wenn T ein kleinstes Element k hat, dann gilt \(\forall t \in T: k \leq t\). Dann ist k auch ein minimales Element. Denn sonst gäbe es \(m \in T, m <k\). Dann wäre also \(m<k\leq m\). Das ist ein Widerspruch zur Antisymmetrie.

wenn T ein minimales Element m hat, dann ist das auch das kleinste. Sei dazu \(t \in T\), dann gilt: \(t \leq m\) oder \(m \leq t\) (Totalordnung). Aber \(t<m\) kann nicht sein, weil m minimal ist. Also folgt \(m \leq t\)

Gruß Mathhilf

Comments

Oh, Du hast Dir sogar extra nochmals Gedanken darüber gemacht.
Vielen vielen Dank für Deine Hilfe und Deine Bemühungen!!! ☺