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wir haben vor den Ferien ein neues Thema begonnen. Leider hat die Zeit nicht mehr ausgereicht um über das neue Thema zu sprechen, daher haben wir ein Arbeitsblatt bekommen, welches wir über die Ferien bearbeiten sollen.
Leider kann ich mit den Textaufgaben sowas von 0 Anfangen. Wir hatten davor die ganze Zeit Integralrechnung gehabt mit zw. zwei Funktionen, zwischen x-Achse und Graph... halt allg. Integralrechnung und jetzt Rauminhalte von Rotationskörpern.
Wenn jemand Zeit und Lust hat, kann mir jemand erklären wie ich bei den einzelnen Teilaufgaben vorzugehen habe und wie ich das ausrechne? Weil ich hab leider kein Plan wie ich da jetzt am besten Anfange... Das wäre eine sehr große Hilfe, da wir auch bald die Prüfung schreiben und ich so schnell wie Möglich die Themen lernen möchte
Text erkannt:
Wie viel Bier passt in eine Blumenvase
Auf einer Feier sind plötzlich zusätzliche Gäste aufgetaucht, welche gerne Bier trinken möchten. Da keine Gläser mehr verfügbar sind, entscheiden sich die Gäste kurzerhand, eine Blumenvase als Trinkgefäß zu verwenden.
Um nun der wichtigen Frage nachzugehen, wie viel man in eine Blumenvase füllen kann, untersuchen zunächst den Querschnitt der Blumenvase.
Die Blumenvase besitzt an ihrer oberen Öffnung einen Durchmesser von \( 10 \mathrm{~cm} \). An ihrer Unterseite beträgt der Durchmesser \( 6 \mathrm{~cm} \). Die Höhe der Blumenvase, gemessen von der Innenseite, beträgt \( 20 \mathrm{~cm} \).
Versuchen Sie zunächst die nachfolgenden Aufgabenpunkte in Einzelarbeit zu lösen. Vergleichen Sie anschließend Ihre Lösungen mit ihrem zugewiesenen Partner. Erklären Sie sich gegenseitig Ihren Lösungsweg.
a) Schätzen Sie zunächst, wie viel Bier in die angegebene Blumenvase passt.
b) Den Querschnitt der Vase kann man auf zwei Arten in ein Koordinatensystem legen. Entscheiden Sie sich für die Art und Weise, bei der durch die Rotation um die \( x \) -Achse, die Blumenvase entsteht.
c) Bestimmen Sie einen Funktionsterm \( f_{(x)}, \) sodass Sie die Blumenvase mithilfe des Graphen von \( f_{(x)} \), durch Rotation um die \( x \) -Achse erzeugen können. Hinweis: Die Funktion kann näherungsweise durch eine quadratische Funktion mit der Grundform \( f_{(x)}=a x^{2}+c \) abgebildet werden.
d) Skizzieren Sie zunächst den Graphen der in Teilaufgabe c) ermittelten Funktion \( \mathrm{f} \) in das Koordinatensystem auf der Rückseite. Zeichnen Sie dann fünf Rechtecke einer Untersumme bzw. einer Obersumme in die Skizze ein. Dafür übernimmt einer von Ihnen (Sie oder Ihr Partner) jeweils die Ober-oder Untersumme. Der Abstand \( \Delta x \) soll dabei immer gleichgroß sein. Welche Körper entstehen, wenn diese um die \( x \) -Achse rotieren? Ermitteln Sie hieraus, je nachdem ob Sie die Ober- bzw. Untersumme gezeichnet haben, näherungsweise den Rauminhalt der Vase. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit Ihrem Partner. Welche Aussage können Sie treffen.
e) Begründen Sie, dass an jeder Stelle \( \mathrm{x} \) der Inhalt der Querschnittsfläche des Rotationskörpers \( A_{(x)}=\pi \cdot\left(f_{x}\right)^{2} \) ist. Begründen Sie damit für den Inhalt \( V \) des aus der Parabel entstehenden Rotationskörpers die Formel: \( V=\int \limits_{0}^{20} \pi \cdot\left(f_{x}\right)^{2} d x \)
Berechnen Sie mit Hilfe der Formel, wie viel Bier in die Blumenvase passt.
