Berechnen Sie den Inhalt der Fläche die von dem Graphen von h und dem Graphen von f eingeschlossen ist.

Question

h(x)=x und f(x)=x^3-6x^2+9x

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche die von dem Graphen von h und dem Graphen von f eingeschlossen ist.
erstmal wurden hier die Funktionen gleichgesetzt um die Schnittpunkte zu berechnen und somit die Grenzen festzulegen: man kommt dann auf x^3-6x^2+8x=0 => x1= 0 x2=2 x3=4
soweit alles klar

Ansatz für die Berechnung der Fläche:

A= \( \int\limits_{0}^{2} \) f(x)dx - \( \int\limits_{0}^{2} \)  h(x)dx + \( \int\limits_{2}^{4} \) h(x)dx - \( \int\limits_{2}^{4} \)f(x)dx

hier kommen nun meine Fragen

1. warum integriert man zuerst von 0 bis 2 und dann von 2 bis 4 und nicht direkt von 0 bis 4?
2. warum nimmt man für den 1. Teil f(x) - h(x) und für den 2. Teil h(x)-f(x)?

Answer 1

2. warum nimmt man für den 1. Teil f(x) - h(x)

Weil im Intervall von 0 bis 2 die Funktion \(f\) oberhalb der Funktion \(h\) verläuft.

und für den 2. Teil h(x)-f(x)?

Weil im Intervall von 2 bis 4 die Funktion \(h\) oberhalb der Funktion \(f\) verläuft.

1. warum integriert man zuerst von 0 bis 2 und dann von 2 bis 4 und nicht direkt von 0 bis 4?

Weil es sich an der Stelle 2 ändert, welche Funktion oberhalb welcher anderen Funktion verläuft.

Rechnet man einfach

        \(\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x - \int_0^4 h(x)\,\mathrm{d}x\)

aus, dann fließt der Teil von 2 bis 4 mit einem negativen Vorzeichen in das Ergebnis ein. Da es hier aber um Flächeninhalte geht, soll das nicht sein.

Comments

wie kann ich bestimmen, welche Fkt. die obere ist bzw. die untere, ohne die Graphen zu zeichnen?

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das musst du gar nicht, wenn du die Beträge addierst

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wie kann ich bestimmen, welche Fkt. die obere ist bzw. die untere, ohne die Graphen zu zeichnen?

Ob \(f\) oberhalb von \(h\) verläuft oder umgekehrt kann sich nur an den Schnittpunkten ändern.

Denke dir eine Zahl zwischen 2 und 4 aus (zum Beispiel 2,72) und setze sie für \(x\) in \(f(x)\) und \(h(x)\).

Du wirst feststellen, dass \(f(2,72) < h(2,72)\) ist. An der Stelle 2,72 verläuft \(h\) deshalb oberhalb von \(f\).

Weil es zwischen 2 und 4 keine weiteren Schnittpunkte von \(f\) und \(h\) gibt, verläuft \(h\) nicht nur an dieser einen Stelle oberhalb von \(f\), sondern im ganzen Bereich zwischen 2 und 4.

So ähnlich geht man auch beim Vorzeichenwechselkriterium vor, wenn man zum Beispiel Extrempunkte sucht.