offene Überdeckung von komplexen Zahlen: EDIT: Was soll bewiesen werden?

Question

Aufgabe:

wie beweist man die Menge B=(iⁿ(1-i/n))∪(i,-i,1,-1),wobei n∈ℕ und i die imaginäre Einheit bezeichnet.

Problem/Ansatz:

wie könnte man die Definition von offene Überdeckung die Beweis durchzuführen, ohne es zu zeigen, dass die Menge beschränkt und abgeschlossen ist.

ich habe echt keine Idee bei diesem Weg. Hat jemand einen Idee?

EDIT: Kopie aus Kommentar:

B=(in(1-i/n))∪(i,-i,1,-1) ist die Menge, ich habe die Mengenklammern leider nicht gefunden.

Comments

Welche Aussage soll denn bewiesen werden? Stehen hier irgendwo Mengenklammern?

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B=(in(1-i/n))∪(i,-i,1,-1) ist die Menge, ich habe die Mengenklammern leider nicht gefunden.

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Hier die ersten 10 Elemente von {iⁿ(1-i/n)}:

Es gibt unendlich viele weitere, die alle auf dem Rand dieses Quadrates liegen:

{i,-i,1,-1} hat dagegen diese 4 Elemente:

Auch diese liegen auf dem Rand des Quadrates.

Welche Aussage ist zu beweisen?

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es ist zu beweisen, dass diese Menge kompakt ist, also jede offene Überdeckung von B besitzt eine endliche Teilüberdeckung.

Answer 1

Hallo,

es geht um die Menge $B=\{i,-1,-i,1\} \cup \{z_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ mit  $a_n:=i^n(1-\frac{i}{n})$?

Wenn es so ist, dann ist der Schlüssel zur Überdeckungsfrage die Beobachtung, dass B 4 Häufungspunkte hat, nämlich $i,-1,-i,1$. Bezeichnet man Kreisumgebungen mit

$$U(v,r):=\{z \in \mathbb{C} \mid |v-z|<r\}$$

Dann gilt:

$$\forall n>m: \quad a_n \in U(i,\frac{1}{m}) \cup U(-1,\frac{1}{m}) \cup U(-i,\frac{1}{m}) \cup U(1,\frac{1}{m})$$

Es sei nun $X$ eine Menge von offenen Mengen, die B überdecken. Dann wählen wir daraus $O_1,O_2,O_3,O_4 \in X$ mit

$$i \in O_1, -1 \in O_2, -i \in O_3,1 \in O_4$$

Dann ein $r>0$ mit $i \in U(i,r) \sube O_1, -1 \in U(-1,r) \sube O_2, \ldots$

Dann ist für $n>1/r$: $a_n \in O_1 \cup O_2 \cup O_3 \cup O_4$.

Dazu wählen wir aus der Überdeckung noch endlich viele weitere $O_n$ mit $a_n \in O_{4+n}$ für $n \leq 1/r$

Gruß Mathhilf

Comments

Danke sehr!

jetzt habe ich wenigstens Ahnung wie die aussieht.

Mit freundlichen Grüßen