E-funktion per Hand lösen?

Question

Hallo, ich steh gerade aufm Schlauch:

Kann ich

4e^2x + 6e^x - 4 = 0

per Hand lösen?

Answer 1

Hallo,

4e^(2x) + 6e^(x) - 4 = 0

z=e^x

---->

4 z² + 6z - 4 = 0 |: 4

z² + (3/2) z - 1 = 0 ->pq-Formel

z_1.2= -3/4 ± √ (9/16 +16/16)

z_1.2= -3/4 ± 5/4

z₁= 1/2

z₂= -2

->Resubstitution:

a) e^x= 1/2 | ln(..)

x ln e= ln (1/2) =ln(1) -ln(2)

ln e=1

ln(1)=0

---->

x= -ln(2)

b) e^x= -1/2 ->keine Lösung

Answer 2

Substituieren: e^x= z

4z²+6z-4=0

z²+1,5z-1 =0

pq- Formel:

-0,75±√(0,75^+1)

z1 = 0,5

z2 = -2 (entfällt)

e^x=z

x= lnz

x= ln0,5= ln(1/2) = ln1-ln2 = -ln2

Answer 3

Weg ohne Substitution:

4$e^{2x}$ + 6$e^{x}$ - 4 = 0

$e^{2x}$ + $\frac{3}{2}$ $e^{x}$  = 1

($e^{x}$+$\frac{3}{4}$)^2 = $\frac{25}{16}$|$\sqrt{}$

1.)  $e^{x}$ = -$\frac{3}{4}$ +$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{2}$

x₁=ln($\frac{1}{2}$)≈ - 0,69

2.)  $e^{x}$ = -$\frac{3}{4}$ -$\frac{5}{4}$=-2   →  keine Lösung in ℝ

Answer 4

Hier gibt es eine Übersicht über Lösungsstrategien für Exponentialgleichungen mit einigen kommentierten Beispielen.