Question

Berechnen Sie die 4-reihige Determinante

det A =

2	5	1	4
5	3	0	0
1	7	0	-3
9	3	4	5

durch Entwicklung
a) nach den Elementen der 2.Zeile,
b) nach den Elementen der 3.Spalte

ich versteh nicht was meinen die mit entwicklung? 2.zeile/3.spalte?

Answer 1

Aloha :)

Du sollst die 4x4-Determinante in maximal vier 3x3-Determinanten entwickeln. Für das Vorzeichen brauchst du die Schachbrett-Regel$$\begin{vmatrix}+ & - & + & -\\- & + & - & +\\+ & - & + & -\\- & + & - & +\end{vmatrix}$$und kannst dann die Entwicklungen hinschreiben.

a) Nach der 2-ten Zeile:$$\begin{vmatrix}2 & 5 & 1 & 4\\5 & 3 & 0 & 0\\1 & 7 & 0 & -3\\9 & 3 & 4 & 5\end{vmatrix}=-5\cdot\begin{vmatrix}\cancel2 & 5 & 1 & 4\\\cancel 5 & \cancel 3 & \cancel 0 & \cancel 0\\\cancel1 & 7 & 0 & -3\\\cancel9 & 3 & 4 & 5\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}2 & \cancel 5 & 1 & 4\\\cancel 5 &\cancel 3 &\cancel 0 &\cancel 0\\1 &\cancel 7 & 0 & -3\\9 & \cancel 3 & 4 & 5\end{vmatrix}$$$$\qquad\qquad\qquad\;\;\;=-5\cdot\begin{vmatrix}5 & 1 & 4\\ 7 & 0 & -3\\ 3 & 4 & 5\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}2 & 1 & 4\\1 & 0 & -3\\9 & 4 & 5\end{vmatrix}$$

a) Nach der 3-ten Spalte:$$\begin{vmatrix}2 & 5 & 1 & 4\\5 & 3 & 0 & 0\\1 & 7 & 0 & -3\\9 & 3 & 4 & 5\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}\cancel2 & \cancel5 & \cancel 1 & \cancel4\\5 & 3 & \cancel0 & 0\\1 & 7 & \cancel0 & -3\\9 & 3 & \cancel4 & 5\end{vmatrix}-4\cdot\begin{vmatrix}2 & 5 & \cancel1 & 4\\5 & 3 & \cancel0 & 0\\1 & 7 & \cancel0 & -3\\\cancel9 & \cancel3 & \cancel4 & \cancel5\end{vmatrix}$$$$\qquad\qquad\qquad\;\;\;=1\cdot\begin{vmatrix}5 & 3 & 0\\1 & 7 & -3\\9 & 3 & 5\end{vmatrix}-4\cdot\begin{vmatrix}2 & 5 & 4\\5 & 3 & 0\\1 & 7 & -3\end{vmatrix}$$

Comments

hallo, warum streicht man nur zwei spalten und woher kommen die Faktoren vor den Determinaten

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Wenn man nach der 2-ten Zeile entwickelt, tauchen die Elemente der zweiten Zeile als Vorfaktoren auf. Das Vorzeichen dieser Faktoren bestimmt die Schachbrett-Regel. Wenn der Vorfaktor \(a_{ik}\) ist, musst du Zeile \(i\) und Spalte \(k\) streichen.

Bei a) sind also die Vorfaktoren \((-5)\), \(3\), \((-0)\) und \(0\).

Bei b) sind die Vorfaktoren \(1\), \((-0)\), \(0\), und \((-4)\).

Man sucht sich beim Entwickeln einer Determinante gerne die Zeile bzw. Spalte mit den meisten Nullen aus, um möglichst wenig rechnen und schreiben zu müssen ;)

Answer 2

Entwicklung nach der 2.Zeile:

5·\( \begin{pmatrix} 5 & 1&4 \\ 7 & 0&-3\\3&4&5 \end{pmatrix} \)+3·\( \begin{pmatrix} 2 & 1&4 \\ 1& 0&-3\\9&4&5 \end{pmatrix} \)+0·\( \begin{pmatrix} 2 & 5&4 \\ 1 & 7&-3\\9&3&5 \end{pmatrix} \)+0·\( \begin{pmatrix} 2 & 5&1 \\ 1 & 7&5\\9&3&4 \end{pmatrix} \). (Matrix-Bögen bitte durch Determinantenstriche ersetzen.)

Die Zahlen der 2.Zeile werden mit "Restdeterminanten" (also Determinanten nach Streichung der 2.Zeile und Spalte der jeweiligen Zahl) multipliziert.