Nun, a * b > 0 ist genau dann erfüllt, wenn gilt
a > 0 und b > 0
oder
a < 0 und b < 0
also genau dann, wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind.
Folglich ist a * b > 0 genau dann nicht erfüllt, wenn gilt:
a ≤0 und b ≥ 0
oder
a ≥ 0 und b ≤ 0
also genau dann, wenn a und b nicht beide positiv und nicht beide negativ sind.
Nun zum Beweis der Behauptung:
Es sei
a < b und a * b > 0
<=> a < b und ( a > 0 und b > 0 ) oder ( a < 0 und b < 0 )
[Division von a < b durch a und b, dabei muss das Ungleichheitszeichen entweder gar nicht umgekehrt werden, nämlich dann, wenn a und b beide positiv sind, oder zweimal umgekehrt werden, nämlich dann, wenn a und b beide negativ sind. In beiden Fällen aber sieht das Ungleichheitszeichen nach der zweifachen Division wieder so aus wie zu Beginn, also:]
=> 1 / b < 1 / a
<=> 1 / a > 1 / b
Das war's schon.
