Kehrwerteigenschaft zeigen a < b und a*b > 0 ⇒ 1/a > 1/b

Question

Hi:)

Wie man bei dieser Aufgabe Kehrwerteigenschaft zeigen ?

a < b und a*b > 0 ⇒ 1/a > 1/b

 

Bei der Frage ist ein gegeben : Man gebe ein Beispiel an, wenn die Bedingung a.b > 0 nicht erfüllt ist.




LG
 

Answer 1

Nun, a * b > 0 ist genau dann erfüllt, wenn gilt

a > 0 und b > 0

oder

a < 0 und b < 0

also genau dann, wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind.

 

Folglich ist a * b > 0 genau dann nicht erfüllt, wenn gilt:

a ≤0 und b ≥ 0

oder

a ≥ 0 und b ≤ 0

also genau dann, wenn a und b nicht beide positiv und nicht  beide negativ sind.

 

Nun zum Beweis der Behauptung:

Es sei

a < b und a * b > 0

<=> a < b und ( a > 0 und b > 0 ) oder ( a < 0 und b < 0 )

[Division von a < b durch a und b, dabei muss das Ungleichheitszeichen entweder gar nicht umgekehrt werden, nämlich dann, wenn a und b beide positiv sind, oder zweimal umgekehrt werden, nämlich dann, wenn a und b beide negativ sind. In beiden Fällen aber sieht das Ungleichheitszeichen nach der zweifachen Division wieder so aus wie zu Beginn, also:]

=> 1 / b < 1 / a

<=> 1 / a > 1 / b

Das war's schon.

Comments

Alles klar. War wohl noch nicht ganz wach.

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Liebe/r Lu,

nein, ich meinte was ich schrieb :-)

a * b > 0, also echt positiv, ist genau dann nicht erfüllt, wenn

a ≤0 und b ≥ 0

oder

a ≥ 0 und b ≤ 0

Genau dann nämlich ist a * b ≤ 0