QR Zerlegung Matrix, inverse Matrix

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in \mathbb{R}^{2,2} \) eine Matrix mit QR-Zerlegung \( A=Q R, \) wobei die orthogonale Matrix \( Q \) gegeben ist durch \( Q=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right]\)und die Inverse der oberen Dreiecksmatrix \( R \) gegeben ist durch\( R^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\0 & 2\end{array}\right]\)Dann ist \( \vec{x}=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] \) eine Lösung für das Gleichungssystem \( A \vec{x}=\left[\begin{array}{c}2 \\ 1\end{array}\right] \)

Problem/Ansatz:

Wie finde ich hier \( x_{1} \) und \( x_{2} \) heraus? Danke

Answer 1

Bezeichne den Ergebnisvektor mit \(b\).
Zu lösen ist \(Ax=b\), wobei \(A=QR\) und \(Q^\top Q=I\) gilt:

\(Ax=b\iff QRx=b\iff\underbrace{Q^\top Q}_{=I}Rx=Q^\top b\iff\underbrace{R^{-1}R}_{=I}x=R^{-1}Q^\top b\).

Endergebnis ist also \(\large\boxed{x=R^{-1}Q^\top b}\).

Eingesetzt: \(x=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\).