Lokale Extrema der Funktion

Question

Aufgabe:

f :R→R, f(x):={|x|·ln(|x|), x≠0

                    {0, x=0

Bestimmen Sie mit Begründung alle lokalen Extrema der Funktion f und geben sie Art, Lage und Wert dieser an.

Problem/Ansatz:

Lim x→0 (ln(x)=0)

Answer 1

Zunächst die Betrachtung für x>0:

f'(x)=ln(x)+1

0=ln(x)+1 für x_E1=1/e (Minimum).

Für x<0 aus Symmetriegründen: x_E2= - 1/e (Minimum).

Außerdem in beiden Fällen ein Randmaximum für x_E3=0.

Comments

Ist die Ableitung nicht f’(x)= ln(x)+1?

Text erkannt:

Nach Produktregel
$$ f(x)=|x| \cdot \ln (|x|) $$
\( v=x \)
$$ \begin{array}{l} v^{\prime}=1 \\ V=\ln (x) \\ v^{\prime}=\frac{1}{x} \end{array} $$
\( f^{\prime}(x)=v \cdot v+v^{\prime} \cdot v \)
$$ f^{\prime}(x)=1 \cdot \ln (x)+\frac{1}{x} \cdot x=\ln (x)+1 $$
\( f^{\prime}(x)=\ln (x)-1 \)

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Ist es wirklich so ungewöhnlich, dass die gleiche Aufgabe zweimal auf die gleiche Weise gelöst wurde? Es gibt sogar sehr viele Aufgaben, die werden immer auf die gleiche Weise gelöst.

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Das kann ich nicht beantworten. Du bist sicher der Meinung, dass ich abgeschrieben habe. Wie soll ich dich jetzt vom Gegenteil überzeugen, ohne mich noch verdächtiger zu machen?

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Also so?

Text erkannt:

Die Ableitung ist for \( x>0 \) Nach Produbtregel \( f(a)=|x| \cdot \ln (x) \mid \)
\( v=1 \)
\( v=\ln (x) \)
\( v=\frac{n}{x} \)
\( f(x)=v \cdot v+v \cdot v \)
$$ f^{\prime}(x)=1 \cdot \ln (x)+\frac{1}{x} \cdot x=\ln (x)+1 $$
ter \( x<0 \) is \( f(x)=-x \cdot \ln (x) \)
Nach Produtrege:
$$ f(x)=-1 \cdot \ln (-x)+\frac{4}{x} \cdot(-x)=-\ln (-x)-1 $$
Fin \( x>0 \)
\( f^{\prime}(x)=0 \quad \Leftrightarrow \Rightarrow \ln (x)+1=0 \)
\( x_{n}=\frac{1}{e} \)
Fer \( x<0 \)
$$ x_{2}=-\frac{1}{e} $$
Fur \( f^{\prime}(x)<0 \) für alle \( x \in\left(-\frac{1}{e}, 0\right) \) Nach dem Satz uber die hinreichende Bedingung fer lokale Extrema light foglich bei \( x=0 \) ein (stiktes) lotales Maximum vor For \( f^{\prime}(x)>0 \) far alle \( x \in\left(0, \frac{1}{e}\right) \)

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@ Roland,

Betreffs Bemerkungen von hj in dem anderen Tread:

im Übrigen habe ich niemals Roland Plagiatsbestrebungen vorgeworfen.
ich fand es nur komisch, das es der gleiche Text war.
Ich ziehe diesbezüglich meine Bemerkungen zurück.. Sorry.

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@Roland,

Ich entschuldige mich in aller Form dafür, es tut mir Leid.