Zeigen Sie, dass es eine stabile Verteilung gibt, bei der sich die Zahlen von einem Intervall zum nächsten nicht …

Question

\( \frac{41}{\text { Beim Laubfrosche }}{\text { Kaulquappen, die sich nach ca. zwei Jahren }} \) zu geschlechtsreifen Fröschen entwickeln. Als erwachsene Tiere im Alter von \( 2-4 \) Jahren legen die Weibchen pro Jahr etwa 20 Eier. Berücksichtigt man eine Gleichverteilung von weiblichen und männ- lichen Tieren innerhalb einer Population, so sind das etwa 10 Eier pro Tier und Jahr in dieser Altersgruppe. Bei den älteren Tieren ( \( 4-6 \) Jahre) sinkt dieser Wert auf etwa 5 Eier pro Tier und Jahr. Älter als sechs Jahre wird ein Laubfrosch nicht.

Nur aus vier von 100 Eiern entwickelt sich ein geschlechtsreifer Laubfrosch und nur die Hälfte von diesen wird älter als vier Jahre. Das Modell, das die Entwicklung einer Laubfroschpopulation in Zwei-Jahres-In-
gangsgraphen skizziert. tervallen beschreibt, ist in einem Über-
a) Tragen Sie die fehlenden Werte im Übergangsgraphen ein. Stellen Sie die Ubergangsmatrix auf.
b) In einem abgeschlossenen Biotop (es wandern keine Laubfrösche von außen hinzu) werden 100 erwachsene Laubfrösche ( 50 männliche, 50 weibliche) angesiedelt. Untersuchen Sie die Entwicklung.
c) Zeigen Sie, dass es eine stabile Verteilung gibt, bei der sich die Zahlen von einem Intervall zum nächsten nicht verändern.
d) Was passiert, wenn sich durch günstige Umweltbedingungen die Geburtenrate pro Tier in beiden Altersgruppen um \( 10 \% \) erhöht, sich durch mehr Fressfeinde aber nur noch drei von 100 Eiern zu geschlechtsreifen Fröschen entwickeln?

Answer 1

a) \(M = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 10 & 5\\\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{100} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

b) Berechne

         \(M^n \cdot\begin{pmatrix}0\\100\\0\end{pmatrix}\)

für hohe \(n\).

c) Zeige dass die Gleichung

        \(M \cdot\begin{pmatrix}k\\e\\a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}k\\e\\a\end{pmatrix}\)

eine nicht-triviale Lösung hat.

d) Neue Übergangsmatrix ist

         \(M' = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 10\cdot\frac{11}{10} & 5\cdot\frac{11}{10}\\\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{100} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)