Voraussetzungen, um eine Gruppe zu beweisen, beweisen.

Question

Aufgabe: Beweisen Sie Lemma

Lemma:

(i) linksinverse Elemente g^−1 sind auch rechtsinvers, d.h. g ◦ g^−1 = e
(ii) ein linksneutrales Element e ist auch rechtsneutral, d.h. g ◦ e = g
(iii) das inverse Element ist eindeutig, d.h. ∀g ∈ G ∃!g^−1 ∈ G : g ◦ g^−1 = e
(iv) das neutrale Element der Gruppe ist eindeutig bestimmt, d.h. ∃!e ∈ G : e ◦ g = g ∀g ∈ G
(v) es gilt (g^−1)^−1 = g

Answer 1

Zu (iii):

Sei e das neutrale Element der Gruppe. Seien b,a⁻¹ ∈ G das Inverse zu a ∈ G, d.h. es gilt: a \(\circ\) b = b \(\circ\) a = e und a⁻¹ \(\circ\) a = a \(\circ\) a⁻¹ = e

Dann folgt:

b = b \(\circ\) e = b \(\circ\) (a \(\circ\) a⁻¹) \(\overset{\text{assoz.}}{=}\) (b \(\circ\) a) \(\circ\) a⁻¹ = e \(\circ\) a⁻¹ = a⁻¹

⇒ b=a⁻¹

(iv)

Seien e und e' neutrale Elemente ∀ a ∈ G. Dann gilt:

a \(\circ\) e = e \(\circ\) a = a

a \(\circ\) e' = e' \(\circ\) a = a

Insbesondere gilt dann:

e = e \(\circ\) e' = e' \(\circ\) e = e'

⇒ e=e'

Comments

Vielen Dank!!!

Answer 2

Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden inverse Elemente in der Form \(g'\) statt \(g^{-1}\), weil das in Latex einfacher zu tippen und übersichtlicher ist.

zu i) \(g'\) ist links-invers zu \(g\), das heißt \(g'g=e\). Weiter sei \(g''\) links-invers zu \(g'\), also \(g''g'=e\). [Beachte, dass wir die Eindeutigkeit des inversen Elementes erst in (iii) zeigen sollen.] Dann gilt:$$gg'=e(gg')=(g''g')(gg')=g''(g'(gg'))=g''((g'g)g')=g''(eg')=g''g'=e$$Daher ist \(g'\) auch rechts-invers.

zu ii) Für ein links-neutrales Elemente \(e\) gilt mit dem Ergebnis von (i):$$ge=g(g'g)=(gg')g=eg=g$$Daher ist \(e\) auch rechts-neutral.

zu iii) Seien \(g'\) und \(g''\) inverse Elemente zu \(g\). Dann ist mit (ii) und (i):$$g''=g''e=g''(gg')=(g''g)g'=eg'=g'$$Daher ist das inverse Element eindeutig bestimmt.

zu iv) Seien \(e'\) und \(e\) neutrale Elemente. Dann gilt mit (ii):$$e'=ee'\quad\text{und}\quad ee'=e\quad\implies\quad e'=ee'=e$$Daher ist das neutrale Element eindeutig bestimmt.

zu v) Nach (iii) gibt es genau ein inverses Element zu \(g'\). Da aber nach (i) auch \(gg'=e\) gilt, ist \(g\) dieses inverse Element. Daher ist \(g=(g')'\).

Comments

Vielen Dank!!!