Aloha :)
Ich schreibe im Folgenden inverse Elemente in der Form \(g'\) statt \(g^{-1}\), weil das in Latex einfacher zu tippen und übersichtlicher ist.
zu i) \(g'\) ist links-invers zu \(g\), das heißt \(g'g=e\). Weiter sei \(g''\) links-invers zu \(g'\), also \(g''g'=e\). [Beachte, dass wir die Eindeutigkeit des inversen Elementes erst in (iii) zeigen sollen.] Dann gilt:$$gg'=e(gg')=(g''g')(gg')=g''(g'(gg'))=g''((g'g)g')=g''(eg')=g''g'=e$$Daher ist \(g'\) auch rechts-invers.
zu ii) Für ein links-neutrales Elemente \(e\) gilt mit dem Ergebnis von (i):$$ge=g(g'g)=(gg')g=eg=g$$Daher ist \(e\) auch rechts-neutral.
zu iii) Seien \(g'\) und \(g''\) inverse Elemente zu \(g\). Dann ist mit (ii) und (i):$$g''=g''e=g''(gg')=(g''g)g'=eg'=g'$$Daher ist das inverse Element eindeutig bestimmt.
zu iv) Seien \(e'\) und \(e\) neutrale Elemente. Dann gilt mit (ii):$$e'=ee'\quad\text{und}\quad ee'=e\quad\implies\quad e'=ee'=e$$Daher ist das neutrale Element eindeutig bestimmt.
zu v) Nach (iii) gibt es genau ein inverses Element zu \(g'\). Da aber nach (i) auch \(gg'=e\) gilt, ist \(g\) dieses inverse Element. Daher ist \(g=(g')'\).