Implizite Ableitung mit x^ln(x)

Question

Ableitung von :

Text erkannt:

08. \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\ln \mathrm{x}} \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{\ln x-1} * \ln \mathrm{x} \)

Problem/Ansatz

Moin Freunde, ich versuche diese Ableitung zu lösen, komme jedoch mit der klassischen impliziten Ableitung nicht ans Ziel. Vielen Dank vorab.

Liebe Grüße,

JaffaCake

Comments

Was hast denn gemacht und was hast du herausbekommen?

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ich versuche diese Ableitung zu lösen

Was willst du daran lösen?

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Text erkannt:

\( \begin{aligned} f(x) &=x^{\ln (x)} \\ \ln (f(x)) &=\ln \left(x^{\ln (x)}\right) \\ \ln (y) &=\ln (x) \cdot \ln (x) \\ \frac{1}{y} \cdot y^{\prime} &=\frac{1}{x} \cdot \ln (x)+\ln (x) \cdot \frac{1}{x} \\-y-&=\frac{\ln (x)}{x}+\frac{\ln (x)}{x} \\ \frac{1}{y} \cdot y^{\prime} &=\frac{2 \ln (x)}{x} \mid \\ y^{\prime} &=\left(\frac{2 \ln (x)}{x}\right) x^{\ln (x)} \end{aligned} \)

Ich versuche die Ableitung der Funktion x^ln(x) zu finden.

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Deine Lösung ist richtig. Statt 1/x kannst du auch x^{-1} schreiben und mit x^{ln(x)} zusammenfassen, dann steht die Musterlösung da.

Answer 1

Hallo,

Dein Ergebnis stimmt und ist gleich der angegebenen Lösung.

1/x= x^(-1) *x^(ln(x) = x^(ln(x) -1)

Answer 2

f(x) = x^(lnx) = e^(lnx*lnx) = e^(lnx)^2

f '(x) = e^(lnx)^2 * 2*lnx*1/x = x^(lnx)*2*lnx/x = 2*x^(lnx-1)*lnx

Answer 3

\( y^{\prime} =\left(\frac{2 \ln (x)}{x}\right) x^{\ln (x)} =2 \ln x\cdot x^{-1} \cdot x^{\ln x}\) und jetzt Potenzgesetze anwenden.