Aloha :)
Ist deine Frage schon beantwortet? Alles bisherigen "Antworten" und Kommentare haben dir nur das Ergebnis mitgeteilt, was du aber eh schon wusstest. Daher versuche ich mal, den Rechenweg zu beschreiben.
Wir wollen eine Funktion \(U(x;y)\) unter einer Nebenbedingung \(g(x;y)=\text{const}\) optimieren:$$U(x;y)=5x^{1/4}y^{3/4}\quad;\quad g(x;y)=x+\frac{3}{2}y\stackrel!=88$$
Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion bis auf einen Faktor \(\lambda\) gleich dem Gradienten der Nebenbedingung sein:$$\operatorname{grad}U(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{5\cdot\frac{1}{4}x^{-3/4}y^{3/4}}{5\cdot\frac{3}{4}x^{1/4}y^{-1/4}}=\lambda\binom{1}{\frac{3}{2}}$$
Wir dividieren die 2-te Koordinatengleichung durch die 1-te:$$\frac{5\cdot\frac{3}{4}x^{1/4}y^{-1/4}}{5\cdot\frac{1}{4}x^{-3/4}y^{3/4}}=\frac{\frac{3}{2}}{1}\implies\frac{3x^{1/4}x^{3/4}}{y^{3/4}y^{1/4}}=\frac{3}{2}\implies\frac{3x}{y}=\frac{3}{2}\implies \underline{\underline{x=\frac{y}{2}}}$$
Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$88=x+\frac{3}{2}y=\frac{y}{2}+\frac{3}{2}y=2y\implies \boxed{y=44\implies x=22}$$
