Bestimmen der Länge des Vektors |x+y+z|

Question

Ich bin leider etwas raus aus einem Großteil der Mathematik gewesen, daher verzeiht mir wenn Formatierung und Co. nicht ganz toll werden.

Aufgabe:

Bestimmen der Länge des Vektors $$|x+y+z|$$

Gegeben: Längen der Vektoren $$|x| = 3, |y| = 4, |z| = 5$$

Winkel zwischen x und y, y und z sowie z und x ist 60°

Problem/Ansatz:

1. Berechnung der Skalarprodukte von $$<x, y>, <y, z>, <z, a>$$

2. Die Länge eines Vektors ist abhängig von seinem Skalarprodukt mit sich selbst. D.h $$|a| = \sqrt{<a,a>}$$

3. Die Länge des Vektors wäre demnach: $$|x+y+z| = \sqrt{<a+b+c, a+b+c>}$$

4. Nach Wikipedia wäre das Skalarprodukt unter der Wurzel dann:

$$<a+b+c, a+b+c> = <a, a> + <a, b> + <a, c> + <b, a> + <b, b> + <b, c> + <c, a> + <c, b> + <c, c>$$

Ist dieser letzte Schritt korrekt? Einsetzen der berechneten Skalarprodukte sowie der "Längen" kann ich dann alleine ;)

Answer 1

Aloha :)

$$\left(\vec x+\vec y+\vec z\right)^2=\vec x^2+\vec y^2+\vec z^2+2\left(\vec x\,\vec y+\vec x\,\vec z+\vec y\,\vec z\right)$$$$\left(\vec x+\vec y+\vec z\right)^2=3^2+4^2+5^2+2\left(3\cdot4\cos60^\circ+3\cdot5\cos60^\circ+4\cdot5\cos60^\circ\right)$$$$\left(\vec x+\vec y+\vec z\right)^2=3^2+4^2+5^2+2\cos60^\circ\left(3\cdot4+3\cdot5+4\cdot5\right)$$$$\left(\vec x+\vec y+\vec z\right)^2=9+16+25+2\cdot\frac{1}{2}\left(12+15+20\right)=97$$$$\left\|\vec x+\vec y+\vec z\right\|=\sqrt{97}$$